تحقیق در مورد اعداد اول

ک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*

فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)

تعداد صفحه:18

فهرست مطالب

اعداد اول

* لئوپولد کرونکر ریاضیدان آلمانی اظهار داشته است که خداوند اعداد صحیح را آفرید و بشر باقی ریاضیات را. *

درباره ی اعداد اول

در بین اعداد طبیعی بزرگتر از یک یعنی ...و 4و3و2 اعدادی وجود دارند که تنها بر یک و خود بخش پذیرند، این اعداد را اعداد اول می نامند. اعداد اول مبنایی برای همه ی عددهای طبیعی است ، به این معنی که هر عدد طبیعی به صورت حاصل ضرب توانی از اعداد اولی است که مقسوم علیه های این عددند. به عنوان مثال  . نخستین هفت عدد اول متمایز عبارتند از: 2و3و7و11و13و17. اینک این سؤال پیش می آید که آیا این رشته از اعداد مختوم است یا اینکه تا بی شمار ادامه دارد. به عبارت دیگر آیا بزرگترین عدد اول وجود دارد یا نه. جواب این است که بزرگترین عدد اول وجود ندارد. این موضوع از عصر طلائی یونانیان مکشوف بوده و توسط اقلیدس در سه قرن قبل از میلاد به اثبات رسیده است. استدلال وی بی اندازه ساده و مبرهن است و هنوز هم تازگی خود را حفظ کرده. پس از اثبات نامتناهی بودن مجموعه ی اعداد اول سؤالاتی دیگر در مورد این اعداد مطرح می شود، که به بعضی از آنها پاسخ داده شده ، ولی برخی هم همچنان بی جواب باقی مانده اند. در این جا چند نمونه از این سؤالات مورد بررسی قرار می گیرند، و ضمناً برهان اقلیدس نیز ارائه خواهد گردید.

معلوم نیست که مفهوم اول برای اولین بار در چه زمانی طرح شده است و چه مدتی سپری گشته تا از مطالعه در خواص اولیه چنین اعدادی به نامتناهی بودن آن پی برده شود. شاید پس از نخستین ملاحظات تجربی و نیز مطالعه ی عملی در خواص اعدادی چون 2و3و11و17 این سؤال طبعاً پیش آمده است.

برهان ذیل، برای اثبات نامتناهی بودن رشته ی اعداد اول هنوز هم از ساده ترین برهان ها در این زمینه است. فرض کنیم که چنین نباشد در این صورت ، عدد اولی مانند p وجود دارد که از هر عدد اول دیگر بزرگتر است. اینک  را در نظر می گیریم این عدد بر هیچ یک از اعداد ()بخشپذیر نیست . چون m یک عامل اول دارد و این عامل در بین اعداد ()نیست پس عامل اولی به غیر از اعداد یاد شده دارد و این با فرض ما در تناقض است. این نتیجه ی ظریف و زیبای اقلیدسی ، که ضمناً برهانش هم بسیار ساده است ، یکی از اولین نمونه ی برهانهای مشهود ریاضی است که به طریقه ی برهان خلف صورت گرفته است. پس ازبررسی این حکم سؤالات تازه ای مطرح می شود، و پاسخ به این سؤالات منجر به نتایج و ملاحظات دیگری می گردد. به عنوان مثال ، با بکار بردن مفهوم « فاکتوریل» می توان متقاعد شد که همواره یک رشته ی بقدر کافی طولانی از اعداد طبیعی متوالی که اول نباشد وجود دارد. در واقع به ازای هر n مفروض می توان n عدد متوالی ، با در نظر گرفتن اعداد طبیعی : n!+2,n!+3,n!+4,…,n!+n به دست آورد؛ این اعداد جملگی مرکب اند (غیر اول). زیرا اولی بر 2 ودومی 3 و سومی 4 و n امی برn بخش پذیر است.

هر گاه موضوع را بیشتر تعقیب کنیم، به شگفتی این اعداد و خصیصه ی مسائل مربوط به آن پی خواهیم برد، به تدریج مسائل جدید مطرح می شوند و این مسائل ، مسائل جدید دیگری را پیش می آورند که عموماً پاسخ به بعضی از آنها چندان هم ساده نیست.

از بین مسائل معروف اعداد اول ، مقدماتی ترین آنها مسئله ذیل است: در مورد اعداد طبیعی زوج به امتحان ملاحظه شده است که قابل نمایش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. « کریستیان گلدباخ» ریاضیدان آلمانی حالت کلی را حدس زد. یعنی به حدس اظهار داشت که هر عدد طبیعی زوج بزرگتر از 2 قابل نمایش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. ( این موضوع در گلچین ریاضی هم آمده) تا عصر حاضر این حدس به یقین مبدل نشده است و ریاضیدانان موفق به اقامه ی برهان برای آن نشده اند. صحت این حکم برای اعداد طبیعی زوج کوچکتر از 108 محقق شده است. ( تا سال 1968)

با بکار بردن ماشینهای الکتریکی محاسبه ، می توان آمارهایی فراهم آورد برای نشان دادن اینکه به چند طریق می توان یک عدد زوج مانند 2n به صورت حاصل جمع دو عدد اول نوشت ، عده ی طرق با بزرگ شدن n بزرگ می شوند. در حال حاضر ریاضیدانان روسی « ایوان ماتویویچ ویورگرادوف» ثابت کرده است که هر عدد طبیعی فرد بقدر کافی بزرگ ، قابل نمایش به صورت حاصل جمع سه عدد اول است. فرمولی که بوسیله آن بتوان هر عدد اول بقدر کافی بزرگ را به دست آورد، وجود ندارد. البته عبارت هایی در دست است که از روی آن می توان عده ای از اعداد اول را تعیین کرد. به عنوان مثال فرمول اویلر در دست است که از روی آن می توان عده ای از اعداد اول را تعیین کرد. به عنوان مثال فرمول اویلر  به ازای  اعداد اول متمایزی به دست می دهد . همچنین معلوم نیست که تعدادی نامتناهی از اعداد اول دوقلو ، یعنی اعداد اولی که تفاضل آنها 2 باشد مانند 5و7 ، 11و13، 29و31 و غیره وجود دارد یا نه. اینها نمونه هایی هستند از مسائلی ساده در اعداد اول که بطور طبیعی مطرح می شوند و اگر چه صورت ظاهری آنها ساده به نظر می رسد، اثبات آنها غالباً دشوار است و این امکان وجود دارد که با معلومات ریاضی عصر ما ثابت نگردند.

اما در مورد حکمی که اخیراً ذکر شد، اطلاعاتی در دست است. به عنوان مثال، معلوم گشته که رشته ی اعداد اول به صورت 4k+1 و4k+3 نامتناهی است. به طور کلی ثابت شده که در تصاعد حسابی ak+b،که در این a وb  نسبت به هم اولند و k=1,2,3,…  یک تعداد نامتناهی عدد اول وجود دارد.

قضایای اعداد اول

اعداد اول اعدادی طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشند. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است.
عدد یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است اعداد ۱، ۳، ۷، ۹ باشد.
اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.
سری اعداد اول به این صورت شروع می‌شود: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ ...
قضیه ۱: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.

• قضیه ۱: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.

به این اثبات دقت کنیداز برهان خلف استفاده می کنیم:

فرض خلف : اعداد اول متناهی است.

اعداد اول را در هم ضرب می کنیم.

P1,P2,P3,...,Pn

ضرب اعداد از Pi بزرگ‌تراست.

که عدد ۱ جزو اعداد اول نیست پس به تناقض می رسیم و فرض خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند.

برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات می‌کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد. حال عدد M را که برابر حاصل‌ضرب این اعداد به علاوه ۱ را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم‌علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.
قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ را به شکل حاصل‌ضرب اعدادی اول نوشت.
قضیه ۳ (قضیه چپیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ۳ باشد، حتما" بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد. قضیه ۴ هر عدد زوج را می‌توان بصورت جمع سه عدد اول نوشت.
قضیه ۵ هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می‌توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پایه قضیه ۴)
قضیه 6-هر عدد فرد را می‌توان به صورت دو برابر یک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت.
خواص اعداد اول:
1- هر عدد اول برابر است با 6n+1 یا 6n-1 که n یک عدد صحیح است.
2-مجذور هر عدد اول برابر است با 24n+1.
3-تفاضل مجذورهای دو عدد اول مضربی از 24 است.
4-حاصلضرب هر دو عدد اول بجز 2و3 مضربی از 6 بعلاوه یا منهای یک است.
توان چهارم هر عدد اول بجز 2و3 مضربی از 240 بعلاوه یک است.
بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ‪ ۳۰میلیون و ‪ ۴۰۲هزار و ‪ ۴۵۷منهای یک است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر 2 به توان n منهای یک است.
لازم به ذکر است که تعداد 3000 عدد اول در سایت مگاسندر [url]www.megasender.org[/url] وجود دارد و افرادی که مایل به دریافت بیشتر این اعداد هستند می توانند با سایت مذکور تماس گرفته و تعداد بیشتری از آنها را بر روی لوح فشرده دریافت نمایند و طراحان این سایت خودشان این اعداد را محاسبه نموده اند

روشی برای شکار اعداد اول 

کی از اولین و در عین حال درخشانترین کارهای بشر در نظریه اعداد، اثبات اقلیدس از نامتناهی بودن اعداد اول در کتاب اصول است که امروزه می توان آن را در کتاب های درسی دبیرستانی خواند. نمونه ای عالی از زیبایی و سادگی ریاضیات. یونانی ها اعداد اول را می شناختند و از نقش آن ها به عنوان بلوک های سازنده دیگر اعداد آگاه بودند. بعد از این دستاوردهای بزرگ طبیعی ترین سوالی که به ذهن بشر رسید این بود که چه نظمی بر دنباله اعداد اول حاکم است، چگونه می توان اعداد اول را یافت و چطور می توان اعدادی را که اول نیستند به عوامل اول شان تجزیه کرد. شاید اولین پاسخ به این سوال غربال اراتستن بوده باشد. تا امروز تلاش های زیادی برای یافتن یک فرمول تولید کننده اعداد اول و یا الگویی برای ظهور اعداد اول در میان دیگر اعداد انجام شده است که هر چند کمک های زیادی به گسترش نظریه اعداد کرده اند اما ساختار پیچیده اعداد اول همچنان در مقابل این تلاش ها مقاومت می کند.

جستجو برای الگوهایی از نظم در اعداد اول

یک نمونه ساده: ۳۱-۳۳۱-۳۳۳۱-۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۳۳۱ همه اولند اما ۳۳۳۳۳۳۳۳۱ حاصلضرب دو عدد اول ۱۷ و ۱۹۶۰۷۸۴۳ است.

اعداد اول مرسن: اگر p اول باشد اعدادی به شکل ۲p-۱ را عدد مرسن میگوییم. اگر این اعداد اول باشند به آن ها عدد اول مرسن می گوییم. به ازای p برابر ۲ و ۳ و ۵ و ۷ عدد مرسن اول است اما اگر p را ۱۱ بگیریم مرکب است. تا امروز ۳۹ عدد اول مرسن شناخته شده اند که آخرینشان به ازای p=۱۳۴۶۶۹۱۷ به دست می‌آید و ۴۰۵۳۹۴۶ رقم دارد. یعنی بین همه اعداد اول کوچکتر از ۱۳۴۶۶۹۱۷ تنها ۳۹ تا عدد اول مرسن تولید می کنند.

اعداد اول دوقلو: به اعداد اولی که پشت سر هم هستند اعداد اول دوقلو می گوییم مثلا ۳ و ۵ و یا ۱۱ و ۱۳. هیچ کس نمی داند که پراکندگی این اعداد در میان سایر اعداد چگونه است و آیا تعداشان متناهی است یا نه بزگترین جفت شناخته شده ۱-۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ و ۱+۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ هستند.

برای پیدا کردن اطلاعاتی راجع به جستجوی اعداد اول می توانید به سایت پروژه GIMPS سر بزنید.

در نظر گذشتگان آزمایش اول بودن یک عدد و یافتن عوامل اول آن یک سوال بودند. کافی بودن عدد مورد نظر را به ترتیب به همه اعداد کوچکتر از آن تقسیم کنیم. اگر به هیچ کدام بخشپذیر نبود اول است و اگر بخشپذیر بود به این ترتیب عوامل اول آن معلوم می شوند. کم کم این فرایند ساده تر شد، مثلا حالا می دانیم که تقسیم کردن به همه اعداد کوچکتر از جذر عدد مورد نظر کافیست ( چرا؟ )، همچنین در صورتیکه اعداد اول کوچکتر از عدد مورد نظر شناخته شده باشند، تقسیم کردن به این اعداد کافیست. این روش ها برای اعداد نسبتا کوچک کار می کنند اما وقتی با عددی مثلا ۱۰۰ رقمی طرف باشیم اوضاع فرق می کند. حتی با سریع ترین کامپیوترها هم تقسیم کردن یک عدد ۱۰۰ رقمی به همه اعداد کوچکتر از آن خیلی بیشتر از عمر عالم طول می کشد.

یک محاسبه سرانگشتی

فرض کنید بخواهیم یک عدد ۱۰۰ رقمی را به همه اعداد کوچکتر از خودش تقسیم کنیم. برای این کار باید حدود ۱۰۹۹ تقسیم انجام دهیم اگر کامپیوتر ما بتواند در هر ثانیه ۱۰۰۰ میلیارد یعنی ۱۰۱۲ تقسیم انجام دهد برای انجام کل کار ۱۰۸۷ ثانیه وقت لازم است.
یک سال ۲۴×۳۶۰۰×۳۶۵=۳۱۵۳۶۰۰۰ ثانیه است یعنی حدود ۱۰۸ ثانیه و این یعنی کار ما ۱۰۷۹ سال طول خواهد کشید. عمر عالم دست بالا ۱۵ میلیارد سال تخمین زده می شود. حتی یک دهم یا یک صدم یا یک هزارم این محاسبه هم غیر قابل انجام است.

حوالی قرن هفدهم توجه ریاضیدانان به این نکته جلب شد که شاید راه های ساده تری برای آزمایش اول بودن یا نبودن یک عدد وجود داشته باشد چرا که روش تقسیم مقدار زیادی اطلاعات اضافی ( لیست عوامل اول، وقتی که جواب سوال منفی است ) تولید می کند که برای پاسخ گفتن به این سوال نیازی به آن ها نیست. فرما مدتی بعد نشان داد که این حدس صحیح بوده است. فرما (۱۶۰۱-۱۶۶۵) قضیه ای را ثابت کرد که تا امروز اساس همه روش های آزمایش اول بودن اعداد است و ما آن را با نام قضیه کوچک فرما می شناسیم.
قضیه کوچک فرما: اگر p عددی اول و b عدد دلخواهی باشد که p و b نسبت به هم اول باشند، آن گاه باقیمانده تقسیم بر p و باقیمانده تقسیم b بر p همیشه برابرند.
بنابراین برای اینکه بدانیم عددی مثل a اول است یا نه کافیست عدد دلخواهی مثل b که نسبت به a اول باشد انتخاب کنیم و باقیمانده تقسیم بر a را بیابیم اگر این باقیمانده برابر b نباشد عدد ما اول نیست.
تنها مشکلی که وجود دارد این است که از آنجا که عکس قضیه فرما لزوما درست نیست - یعنی ممکن است بعضی از اعداد مرکب هم این خاصیت را داشته باشند - اگر باقیمانده b باشد نمی توان در مورد اول بودن یا نبودن a اظهارنظری کرد. این مشکل هم ۳۰۰ سال بعد در تابستان ۲۰۰۲ بوسیله سه ریاضیدان هندی به نام‌های Agrawal، Kayal و Saxena حل شد و حالا می توانیم در کسری از ثانیه در مورد اول بودن عددی با ۱۰۰ رقم اظهارنظر کنیم.

 اعداد اول اعداد بسیار زیبا و جذابند و در عین حال معمای حیرت انگیز و سرگردان‌کننده ای را در برابر ریاضی دانان مطرح ساخته اند. تعریف این اعداد کاملا ساده است، رفتار آنها در سلسله اعداد و نحوه ظاهر شدنشان در آن کاملابی‌نظم و فاقد قاعده به نظر می‌آید و هرچه شمار بیشتری از آنها شکارمی‌شوند، کار شکار عدد بعدی دشوارترمی‌شود طی قرنهای متمادی ریاضی دانان در شرق و غرب عالم به جستجوی راههایی برای دستیابی به اعداد اول برخاسته‌اند و با این همه بهترین روشهایی که تا بحال در این زمینه ابداع شده چنان کند است که حتی پر سرعت‌ترین کامپیوتر های کنونی نیز نمی‌توانند کمک چندانی در شکار این اعداد شگفت انگیز کنند. بطوریکه اگر چندین میلیون بار به سرعت کامپیوتر های کنونی افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترین عدد اولی که تا به حال شناخته شده افزوده می‌گردد. ریاضی دانان در آرزوی دست یافته به روشی هستند که با استفاده از آن بتوانند با سرعت به یافتن اعداد اول توفیق یابند و یا اگر با عددی هر اندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند که آیا عدد اول است ؟ یک گروه از ریاضی دانان هندی مدعی شده‌اند که در آستانه دستیابی به همان آزمونی هستند که ریاضی دانان قرنها مشتاقانه در آرزویش بوده اند. مانیندرا اگراوال ‪ ,Manindra Agrawalو دانشجویانش نیراج کایال‪Neeraj ‪Kayalو نیتین سکسنا ‪ Nitin Saxenaدر موسسه تکنولوژی کانپور مدعی شده‌اند که در آستانه تکمیل آزمونی هستند که اول بودن یا نبودن هر عدد طبیعی را با سرعت مشخص می‌کند. این آزمون در صورتی که تکمیل شود می‌تواند تبعات و نتایج بسیار گسترده‌ای برای جهان کنونی به بار آورد. جالب به نظر میرسد که بدانید: درحال حاضر بسیاری از معاملات تجاری و نقل و انتقالات مالی و نیز مبادله اطلاعات محرمانه از طریق شبکه های مخابراتی مانند اینترنت و با بهره گیری از رمز کردن پیامها به انجام می‌رسد. اعداد اول در تنظیم این قبیل رمزها نقشی اساسی بر عهده دارند و از همین رو دستیابی به اعداد اول جدید که دیگران از آن بی‌خبر باشند برای سازندگان این رمزها و نیز مشتریان آنان از اهمیت زیاد برخوردار است. اما اگر روش این محققان هندی تکمیل شود در آن صورت امنیت این قبیل نقل و انتقالات در معرض خطر جدی قرار خواهد گرفت. سابقه قرار گرفتن ریاضی دانان تحت جاذبه اعداد اول به قرنها پیش باز می گردد. در سال ‪ ۱۸۰۱کارل گائوس از بزرگترین ریاضی دانان اعلام کرد که مساله تشخیص اعداد اول از اعداد غیر اول یکی از مهمترین مسائل حساب به شمار می‌آید. اعداد اول به یک معنا همان نقشی را در سلسله اعداد بازی می‌کنند که اتمها در ساختار بنای کیهان دارند- این اعداد سنگ بنای ناپیدای دیگر اعداد محسوب می‌شوند. یکی از عادی‌ترین راههای شناسایی اعداد اول تقسیم آن به دیگر اعداد است. از طرف دیگر با اندکی تامل روشن می‌شود که اعداد زوج عدد اول نیستند زیرا همگی بر ‪ ۲قابل قسمتند. اعدادی که بتوان جذر آنها را به دست آورد نیز اول نیستند. اما این روشها برای شناسایی اعداد اول بزرگ به کلی بی‌فایده‌اند. به عنوان مثال اگر عدد اولی دارای ‪ ۱۰۰رقم باشد در آن صورت کل عمر باقیمانده از کیهان بر اساس نظریه های جدید کیهانشناسی نیز برای مشخص کردن اول بودن یا نبودن این عدد با این شیوه های متعارف کفایت نمی‌کند. بنابراین ریاضی دانان به سراغ روشهای دیگر رفته‌اند. مهمترین سوال در مورد همه این روشها آن است که با چه سرعتی می‌توانند یک عدد اول را مشخص کنند و با ازدیاد ارقام عدد اول زمان لازم برای محاسبه چه اندازه طولانی تر می شود. اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتی از شمار ارقام عدد ازدیاد یابد در آن صورت این روش روش قابل قبولی به شمار آورده می‌شود . به این نوع روشها که زمان به صورت توانی در آنها افزوده می‌شود "روشهای توانی" می‌گویند. روشهای دیگر که زمان در آنها با سرعت بیشتری افزایش می‌یابد روشهای غیرتوانی نام دارند. به عنوان مثال روش تقسیم معمولی یک روش غیرتوانی برای یافتن اعداد اول است. در این روش زمان لازم برای تعیین اول بودن یک عدد با ‪ dرقم، برابر با ‪ /۱۰d/2این نوع روشها بسیار نامناسبند.

پیچیده گی های اعداد اول

در150 سال اخیر یا بیشتر نظریه اعداد پیشرفتهای زیادی در جهات مختلف داشته.شرح انواع مسائلی که در نظریه اعداد بررسی شده اند در اینجا ممکن نیست.این مبحث بسیار وسیع  است و در بعضی قسمتها نیاز به دانستن مطالب عمیقی از ریاضیات پیشرفته (مثل نظریه گالوا و آنالیز در سطح بالا ) دارد. با اینحال مسائل زیادی در نظریه اعداد وجود دارد که به آسانی قابل بیانند . برخی از آنها به اعداد اول مربوط میشوند .

در نوشته ی قبلی اعداد کوچکتر از 500 ذکر شده اند .در 1914 ریاضیدان آمریکایی دی.ان.لمر با منتشر کردن جدول همه اعداد اول کوچکتر از 10 میلیون متوجه شد که فقط 664579 تا عدد اول وجود دارد یعنی حدود6.5 درصد.همچنین دی اچ لمر(پسر

دی.ان.لمر) تعداد اعداد اول کوچکتر از 10 میلیارد را حساب کرد 455052512.حدوداً 4.5 درصد .

بررسی دقیق اعداد اول نشان می دهد که توزیع بسیار نامنظمی دارند . به آسانی ثابت میشود که شکافهای به اندازه ی دلخواه بین آنها وجود دارد. بررسی این اعداد نشان میدهد که اعداد اول متوالی ، نظیر 3و5 یا 101و103 همین طور تکرار میشوند

جفتهایی از اعداد اول که تفاضلشان 2 است اعداد اول دو قلو نامیده میشوند بیش از 1000 جفت از این جفتها زیر 100000  بیش از 8000 جفت زیر 1000000 وجود دارند این مسئله که آیا بینهایت تا از این اعداد وجود دارد یا نه هنوز حل نشده است

نتیجه گیری

همان طوری که می دانیم اعداد اول پایه و اساس کلیه اعداد در ریاضیات می باشند. بنابر این شناختن این اعداد و جدا کردن آنها از اعداد دیگر از اهمیت ویژه های برخوردار است. از آنجا که تشخیص این اعداد کاری مشکل است و نیاز به صرف وقت فراوان دارد تصمیم گرفتیم که الگوریتمی طراحی کنیم تا به وسیله آن بتوانیم اعداد اول را راحت تر پیدا کنیم.

جستجو برای الگوهایی از نظم در اعداد اول

یک نمونه ساده: ۳۱-۳۳۱-۳۳۳۱-۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۳۳۱ همه اولند اما ۳۳۳۳۳۳۳۳۱ حاصلضرب دو عدد اول ۱۷ و ۱۹۶۰۷۸۴۳ است.
اعداد اول مرسن: اگر p اول باشد اعدادی به شکل ۲p-۱ را عدد مرسن میگوییم. اگر این اعداد اول باشند به آن ها عدد اول مرسن می گوییم. به ازای p برابر ۲ و ۳ و ۵ و ۷ عدد مرسن اول است اما اگر p را ۱۱ بگیریم مرکب است. تا امروز ۳۹ عدد اول مرسن شناخته شده اند که آخرینشان به ازای p=۱۳۴۶۶۹۱۷ به دست می‌آید و ۴۰۵۳۹۴۶ رقم دارد. یعنی بین همه اعداد اول کوچکتر از ۱۳۴۶۶۹۱۷ تنها ۳۹ تا عدد اول مرسن تولید می کنند.
اعداد اول دوقلو: به اعداد اولی که پشت سر هم هستند اعداد اول دوقلو می گوییم مثلا ۳ و ۵ و یا ۱۱ و ۱۳. هیچ کس نمی داند که پراکندگی این اعداد در میان سایر اعداد چگونه است و آیا تعداشان متناهی است یا نه بزگترین جفت شناخته شده ۱-۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ و ۱+۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ هستند.

فهرست مطالب

موضوع                                                                   صفحه

اعداد اول  .............................................................1

درباره ی اعداد اول ...................................................1

قضایای اعداد اول ....................................................4

خواص اعداد اول ....................................................7
روشی برای شکار اعداد اول ........................................8

جستجو برای الگوهایی از نظم در اعداد اول........................9

یک محاسبه سرانگشتی...............................................11

پیچیده گی های اعداد اول..........................................15

نتیجه گیری...........................................................16

مشخصات فروشنده

نام و نام خانوادگی : یعقوب ذاکری

شماره تماس : [phone]

ایمیل :[e-mail]

سایت :shopfile95.sellfile.ir

برای خرید و دانلود فایل و گزارش خرابی از لینک های روبرو اقدام کنید...

تحقیق در مورد اعداد اول

ک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*

فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)

تعداد صفحه:14

فهرست مطالب

اعداد اول

اعداد اول اعدادی طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشند. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است.
عدد یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است اعداد ۱، ۳، ۷، ۹ باشد.
اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.
سری اعداد اول به این صورت شروع می‌شود: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ ...
قضیه ۱: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.

• قضیه ۱: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.

به این اثبات دقت کنیداز برهان خلف استفاده می کنیم:

فرض خلف : اعداد اول متناهی است.

اعداد اول را در هم ضرب می کنیم.

P1,P2,P3,...,Pn

ضرب اعداد از Pi بزرگ‌تراست.

که عدد ۱ جزو اعداد اول نیست پس به تناقض می رسیم و فرض خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند.

برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات می‌کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد. حال عدد M را که برابر حاصل‌ضرب این اعداد به علاوه ۱ را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم‌علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.
قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ را به شکل حاصل‌ضرب اعدادی اول نوشت.
قضیه ۳ (قضیه چپیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ۳ باشد، حتما" بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد. قضیه ۴ هر عدد زوج را می‌توان بصورت جمع سه عدد اول نوشت.
قضیه ۵ هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می‌توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پایه قضیه ۴)
قضیه 6-هر عدد فرد را می‌توان به صورت دو برابر یک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت.
خواص اعداد اول:
1- هر عدد اول برابر است با 6n+1 یا 6n-1 که n یک عدد صحیح است.
2-مجذور هر عدد اول برابر است با 24n+1.
3-تفاضل مجذورهای دو عدد اول مضربی از 24 است.
4-حاصلضرب هر دو عدد اول بجز 2و3 مضربی از 6 بعلاوه یا منهای یک است.
توان چهارم هر عدد اول بجز 2و3 مضربی از 240 بعلاوه یک است.
بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ‪ ۳۰میلیون و ‪ ۴۰۲هزار و ‪ ۴۵۷منهای یک است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر 2 به توان n منهای یک است.
لازم به ذکر است که تعداد 3000 عدد اول در سایت مگاسندر [url]www.megasender.org[/url] وجود دارد و افرادی که مایل به دریافت بیشتر این اعداد هستند می توانند با سایت مذکور تماس گرفته و تعداد بیشتری از آنها را بر روی لوح فشرده دریافت نمایند و طراحان این سایت خودشان این اعداد را محاسبه نموده اند

روشی برای شکار اعداد اول 

کی از اولین و در عین حال درخشانترین کارهای بشر در نظریه اعداد، اثبات اقلیدس از نامتناهی بودن اعداد اول در کتاب اصول است که امروزه می توان آن را در کتاب های درسی دبیرستانی خواند. نمونه ای عالی از زیبایی و سادگی ریاضیات. یونانی ها اعداد اول را می شناختند و از نقش آن ها به عنوان بلوک های سازنده دیگر اعداد آگاه بودند. بعد از این دستاوردهای بزرگ طبیعی ترین سوالی که به ذهن بشر رسید این بود که چه نظمی بر دنباله اعداد اول حاکم است، چگونه می توان اعداد اول را یافت و چطور می توان اعدادی را که اول نیستند به عوامل اول شان تجزیه کرد. شاید اولین پاسخ به این سوال غربال اراتستن بوده باشد. تا امروز تلاش های زیادی برای یافتن یک فرمول تولید کننده اعداد اول و یا الگویی برای ظهور اعداد اول در میان دیگر اعداد انجام شده است که هر چند کمک های زیادی به گسترش نظریه اعداد کرده اند اما ساختار پیچیده اعداد اول همچنان در مقابل این تلاش ها مقاومت می کند.

جستجو برای الگوهایی از نظم در اعداد اول

یک نمونه ساده: ۳۱-۳۳۱-۳۳۳۱-۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۳۳۱ همه اولند اما ۳۳۳۳۳۳۳۳۱ حاصلضرب دو عدد اول ۱۷ و ۱۹۶۰۷۸۴۳ است.
اعداد اول مرسن: اگر p اول باشد اعدادی به شکل ۲p-۱ را عدد مرسن میگوییم. اگر این اعداد اول باشند به آن ها عدد اول مرسن می گوییم. به ازای p برابر ۲ و ۳ و ۵ و ۷ عدد مرسن اول است اما اگر p را ۱۱ بگیریم مرکب است. تا امروز ۳۹ عدد اول مرسن شناخته شده اند که آخرینشان به ازای p=۱۳۴۶۶۹۱۷ به دست می‌آید و ۴۰۵۳۹۴۶ رقم دارد. یعنی بین همه اعداد اول کوچکتر از ۱۳۴۶۶۹۱۷ تنها ۳۹ تا عدد اول مرسن تولید می کنند.
اعداد اول دوقلو: به اعداد اولی که پشت سر هم هستند اعداد اول دوقلو می گوییم مثلا ۳ و ۵ و یا ۱۱ و ۱۳. هیچ کس نمی داند که پراکندگی این اعداد در میان سایر اعداد چگونه است و آیا تعداشان متناهی است یا نه بزگترین جفت شناخته شده ۱-۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ و ۱+۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ هستند.

برای پیدا کردن اطلاعاتی راجع به جستجوی اعداد اول می توانید به سایت پروژه GIMPS سر بزنید.

در نظر گذشتگان آزمایش اول بودن یک عدد و یافتن عوامل اول آن یک سوال بودند. کافی بودن عدد مورد نظر را به ترتیب به همه اعداد کوچکتر از آن تقسیم کنیم. اگر به هیچ کدام بخشپذیر نبود اول است و اگر بخشپذیر بود به این ترتیب عوامل اول آن معلوم می شوند. کم کم این فرایند ساده تر شد، مثلا حالا می دانیم که تقسیم کردن به همه اعداد کوچکتر از جذر عدد مورد نظر کافیست ( چرا؟ )، همچنین در صورتیکه اعداد اول کوچکتر از عدد مورد نظر شناخته شده باشند، تقسیم کردن به این اعداد کافیست. این روش ها برای اعداد نسبتا کوچک کار می کنند اما وقتی با عددی مثلا ۱۰۰ رقمی طرف باشیم اوضاع فرق می کند. حتی با سریع ترین کامپیوترها هم تقسیم کردن یک عدد ۱۰۰ رقمی به همه اعداد کوچکتر از آن خیلی بیشتر از عمر عالم طول می کشد.

یک محاسبه سرانگشتی

فرض کنید بخواهیم یک عدد ۱۰۰ رقمی را به همه اعداد کوچکتر از خودش تقسیم کنیم. برای این کار باید حدود ۱۰۹۹ تقسیم انجام دهیم اگر کامپیوتر ما بتواند در هر ثانیه ۱۰۰۰ میلیارد یعنی ۱۰۱۲ تقسیم انجام دهد برای انجام کل کار ۱۰۸۷ ثانیه وقت لازم است.

یک سال ۲۴×۳۶۰۰×۳۶۵=۳۱۵۳۶۰۰۰ ثانیه است یعنی حدود ۱۰۸ ثانیه و این یعنی کار ما ۱۰۷۹ سال طول خواهد کشید. عمر عالم دست بالا ۱۵ میلیارد سال تخمین زده می شود. حتی یک دهم یا یک صدم یا یک هزارم این محاسبه هم غیر قابل انجام است.

حوالی قرن هفدهم توجه ریاضیدانان به این نکته جلب شد که شاید راه های ساده تری برای آزمایش اول بودن یا نبودن یک عدد وجود داشته باشد چرا که روش تقسیم مقدار زیادی اطلاعات اضافی ( لیست عوامل اول، وقتی که جواب سوال منفی است ) تولید می کند که برای پاسخ گفتن به این سوال نیازی به آن ها نیست. فرما مدتی بعد نشان داد که این حدس صحیح بوده است. فرما (۱۶۰۱-۱۶۶۵) قضیه ای را ثابت کرد که تا امروز اساس همه روش های آزمایش اول بودن اعداد است و ما آن را با نام قضیه کوچک فرما می شناسیم.
قضیه کوچک فرما: اگر p عددی اول و b عدد دلخواهی باشد که p و b نسبت به هم اول باشند، آن گاه باقیمانده تقسیم بر p و باقیمانده تقسیم b بر p همیشه برابرند.
بنابراین برای اینکه بدانیم عددی مثل a اول است یا نه کافیست عدد دلخواهی مثل b که نسبت به a اول باشد انتخاب کنیم و باقیمانده تقسیم بر a را بیابیم اگر این باقیمانده برابر b نباشد عدد ما اول نیست.
تنها مشکلی که وجود دارد این است که از آنجا که عکس قضیه فرما لزوما درست نیست - یعنی ممکن است بعضی از اعداد مرکب هم این خاصیت را داشته باشند - اگر باقیمانده b باشد نمی توان در مورد اول بودن یا نبودن a اظهارنظری کرد. این مشکل هم ۳۰۰ سال بعد در تابستان ۲۰۰۲ بوسیله سه ریاضیدان هندی به نام‌های Agrawal، Kayal و Saxena حل شد و حالا می توانیم در کسری از ثانیه در مورد اول بودن عددی با ۱۰۰ رقم اظهارنظر کنیم.

 اعداد اول اعداد بسیار زیبا و جذابند و در عین حال معمای حیرت انگیز و سرگردان‌کننده ای را در برابر ریاضی دانان مطرح ساخته اند. تعریف این اعداد کاملا ساده است، رفتار آنها در سلسله اعداد و نحوه ظاهر شدنشان در آن کاملابی‌نظم و فاقد قاعده به نظر می‌آید و هرچه شمار بیشتری از آنها شکارمی‌شوند، کار شکار عدد بعدی دشوارترمی‌شود طی قرنهای متمادی ریاضی دانان در شرق و غرب عالم به جستجوی راههایی برای دستیابی به اعداد اول برخاسته‌اند و با این همه بهترین روشهایی که تا بحال در این زمینه ابداع شده چنان کند است که حتی پر سرعت‌ترین کامپیوتر های کنونی نیز نمی‌توانند کمک چندانی در شکار این اعداد شگفت انگیز کنند. بطوریکه اگر چندین میلیون بار به سرعت کامپیوتر های کنونی افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترین عدد اولی که تا به حال شناخته شده افزوده می‌گردد. ریاضی دانان در آرزوی دست یافته به روشی هستند که با استفاده از آن بتوانند با سرعت به یافتن اعداد اول توفیق یابند و یا اگر با عددی هر اندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند که آیا عدد اول است ؟ یک گروه از ریاضی دانان هندی مدعی شده‌اند که در آستانه دستیابی به همان آزمونی هستند که ریاضی دانان قرنها مشتاقانه در آرزویش بوده اند. مانیندرا اگراوال ‪ ,Manindra Agrawalو دانشجویانش نیراج کایال‪Neeraj ‪Kayalو نیتین سکسنا ‪ Nitin Saxenaدر موسسه تکنولوژی کانپور مدعی شده‌اند که در آستانه تکمیل آزمونی هستند که اول بودن یا نبودن هر عدد طبیعی را با سرعت مشخص می‌کند. این آزمون در صورتی که تکمیل شود می‌تواند تبعات و نتایج بسیار گسترده‌ای برای جهان کنونی به بار آورد. جالب به نظر میرسد که بدانید: درحال حاضر بسیاری از معاملات تجاری و نقل و انتقالات مالی و نیز مبادله اطلاعات محرمانه از طریق شبکه های مخابراتی مانند اینترنت و با بهره گیری از رمز کردن پیامها به انجام می‌رسد. اعداد اول در تنظیم این قبیل رمزها نقشی اساسی بر عهده دارند و از همین رو دستیابی به اعداد اول جدید که دیگران از آن بی‌خبر باشند برای سازندگان این رمزها و نیز مشتریان آنان از اهمیت زیاد برخوردار است. اما اگر روش این محققان هندی تکمیل شود در آن صورت امنیت این قبیل نقل و انتقالات در معرض خطر جدی قرار خواهد گرفت. سابقه قرار گرفتن ریاضی دانان تحت جاذبه اعداد اول به قرنها پیش باز می گردد. در سال ‪ ۱۸۰۱کارل گائوس از بزرگترین ریاضی دانان اعلام کرد که مساله تشخیص اعداد اول از اعداد غیر اول یکی از مهمترین مسائل حساب به شمار می‌آید. اعداد اول به یک معنا همان نقشی را در سلسله اعداد بازی می‌کنند که اتمها در ساختار بنای کیهان دارند- این اعداد سنگ بنای ناپیدای دیگر اعداد محسوب می‌شوند. یکی از عادی‌ترین راههای شناسایی اعداد اول تقسیم آن به دیگر اعداد است. از طرف دیگر با اندکی تامل روشن می‌شود که اعداد زوج عدد اول نیستند زیرا همگی بر ‪ ۲قابل قسمتند. اعدادی که بتوان جذر آنها را به دست آورد نیز اول نیستند. اما این روشها برای شناسایی اعداد اول بزرگ به کلی بی‌فایده‌اند. به عنوان مثال اگر عدد اولی دارای ‪ ۱۰۰رقم باشد در آن صورت کل عمر باقیمانده از کیهان بر اساس نظریه های جدید کیهانشناسی نیز برای مشخص کردن اول بودن یا نبودن این عدد با این شیوه های متعارف کفایت نمی‌کند. بنابراین ریاضی دانان به سراغ روشهای دیگر رفته‌اند. مهمترین سوال در مورد همه این روشها آن است که با چه سرعتی می‌توانند یک عدد اول را مشخص کنند و با ازدیاد ارقام عدد اول زمان لازم برای محاسبه چه اندازه طولانی تر می شود. اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتی از شمار ارقام عدد ازدیاد یابد در آن صورت این روش روش قابل قبولی به شمار آورده می‌شود . به این نوع روشها که زمان به صورت توانی در آنها افزوده می‌شود "روشهای توانی" می‌گویند. روشهای دیگر که زمان در آنها با سرعت بیشتری افزایش می‌یابد روشهای غیرتوانی نام دارند. به عنوان مثال روش تقسیم معمولی یک روش غیرتوانی برای یافتن اعداد اول است. در این روش زمان لازم برای تعیین اول بودن یک عدد با ‪ dرقم، برابر با ‪ /۱۰d/2این نوع روشها بسیار نامناسبند.

پیچیده گی های اعداد اول

در150 سال اخیر یا بیشتر نظریه اعداد پیشرفتهای زیادی در جهات مختلف داشته.شرح انواع مسائلی که در نظریه اعداد بررسی شده اند در اینجا ممکن نیست.این مبحث بسیار وسیع  است و در بعضی قسمتها نیاز به دانستن مطالب عمیقی از ریاضیات پیشرفته (مثل نظریه گالوا و آنالیز در سطح بالا ) دارد. با اینحال مسائل زیادی در نظریه اعداد وجود دارد که به آسانی قابل بیانند . برخی از آنها به اعداد اول مربوط میشوند .

در نوشته ی قبلی اعداد کوچکتر از 500 ذکر شده اند .در 1914 ریاضیدان آمریکایی دی.ان.لمر با منتشر کردن جدول همه اعداد اول کوچکتر از 10 میلیون متوجه شد که فقط 664579 تا عدد اول وجود دارد یعنی حدود6.5 درصد.همچنین دی اچ لمر(پسر

دی.ان.لمر) تعداد اعداد اول کوچکتر از 10 میلیارد را حساب کرد 455052512.حدوداً 4.5 درصد .

بررسی دقیق اعداد اول نشان می دهد که توزیع بسیار نامنظمی دارند . به آسانی ثابت میشود که شکافهای به اندازه ی دلخواه بین آنها وجود دارد. بررسی این اعداد نشان میدهد که اعداد اول متوالی ، نظیر 3و5 یا 101و103 همین طور تکرار میشوند

جفتهایی از اعداد اول که تفاضلشان 2 است اعداد اول دو قلو نامیده میشوند بیش از 1000 جفت از این جفتها زیر 100000  بیش از 8000 جفت زیر 1000000 وجود دارند این مسئله که آیا بینهایت تا از این اعداد وجود دارد یا نه هنوز حل نشده است

اعداد اول

همان طوری که می دانیم اعداد اول پایه و اساس کلیه اعداد در ریاضیات می باشند. بنابر این شناختن این اعداد و جدا کردن آنها از اعداد دیگر از اهمیت ویژه های برخوردار است. از آنجا که تشخیص این اعداد کاری مشکل است و نیاز به صرف وقت فراوان دارد تصمیم گرفتیم که الگوریتمی طراحی کنیم تا به وسیله آن بتوانیم اعداد اول را راحت تر پیدا کنیم.

جستجو برای الگوهایی از نظم در اعداد اول

یک نمونه ساده: ۳۱-۳۳۱-۳۳۳۱-۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۳۳۱ همه اولند اما ۳۳۳۳۳۳۳۳۱ حاصلضرب دو عدد اول ۱۷ و ۱۹۶۰۷۸۴۳ است.

اعداد اول مرسن: اگر p اول باشد اعدادی به شکل ۲p-۱ را عدد مرسن میگوییم. اگر این اعداد اول باشند به آن ها عدد اول مرسن می گوییم. به ازای p برابر ۲ و ۳ و ۵ و ۷ عدد مرسن اول است اما اگر p را ۱۱ بگیریم مرکب است. تا امروز ۳۹ عدد اول مرسن شناخته شده اند که آخرینشان به ازای p=۱۳۴۶۶۹۱۷ به دست می‌آید و ۴۰۵۳۹۴۶ رقم دارد. یعنی بین همه اعداد اول کوچکتر از ۱۳۴۶۶۹۱۷ تنها ۳۹ تا عدد اول مرسن تولید می کنند.

اعداد اول دوقلو: به اعداد اولی که پشت سر هم هستند اعداد اول دوقلو می گوییم مثلا ۳ و ۵ و یا ۱۱ و ۱۳. هیچ کس نمی داند که پراکندگی این اعداد در میان سایر اعداد چگونه است و آیا تعداشان متناهی است یا نه بزگترین جفت شناخته شده ۱-۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ و ۱+۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ هستند.

یک محاسبه سرانگشتی

فرض کنید بخواهیم یک عدد ۱۰۰ رقمی را به همه اعداد کوچکتر از خودش تقسیم کنیم. برای این کار باید حدود ۱۰۹۹ تقسیم انجام دهیم اگر کامپیوتر ما بتواند در هر ثانیه ۱۰۰۰ میلیارد یعنی ۱۰۱۲ تقسیم انجام دهد برای انجام کل کار ۱۰۸۷ ثانیه وقت لازم است.

یک سال ۲۴×۳۶۰۰×۳۶۵=۳۱۵۳۶۰۰۰ ثانیه است یعنی حدود ۱۰۸ ثانیه و این یعنی کار ما ۱۰۷۹ سال طول خواهد کشید. عمر عالم دست بالا ۱۵ میلیارد سال تخمین زده می شود. حتی یک دهم یا یک صدم یا یک هزارم این محاسبه هم غیر قابل انجام است.

مشخصات فروشنده

نام و نام خانوادگی : یعقوب ذاکری

شماره تماس : [phone]

ایمیل :[e-mail]

سایت :shopfile95.sellfile.ir

برای خرید و دانلود فایل و گزارش خرابی از لینک های روبرو اقدام کنید...

تحقیق در مور اصل لانه کبوتر

ک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*

فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)

تعداد صفحه:12

فهرست مطالب

چکیده:

اصل لانه کبوتر بسیار روشن است و بسیار ساده به نظر می‌رسد، گویی دارای اهمیت زیادی نیست، ولی در عمل این اصل دارای اهمیت و قدرت بسیار زیادی است، زیرا تعمیمهای آن حاوی نتایجی عمیق در نظریه ترکیباتی و نظریه اعداد است. وقتی می‌گوئیم در هر گروه سه نفری از مردم حداقل دو نفر، هم جنس‌اند در واقع اصل لانه کبوتر را به کار گرفته‌ایم. فرض کنیم به تازگی در دانشکده‌ای، یک گروه علوم کامپیوتر تاسیس یافته که برای 10 عضو هیئت علمی آن فقط 9 دفتر‌کار موجود باشد. آن‌گاه باز هم ایده نهایی در پشت این ادعای بدیهی که حداقل از یک دفتر‌کار بیشتر از یک نفر است استفاده می‌کنند، اصل لانه کبوتر است. اگر به جای 10 نفر 19 عضو هیئت علمی وجود داشته باشد، آن‌گاه حداقل از یک دفتر‌کار بیشتر از دو نفر استفاده می‌کنند. همین‌طور، اگر در دانشکده‌ای حداقل 367 دانشجو وجود داشته باشند، باز آشکار است S حداقل دو نفر از آنها روز تولدشان یکی است. می‌گویند که سرانسان دارای حداکثر 999 و 99 تار مو است. از این رو در شهری S جمعیت آن بیشتر از 4 میلیون باشد، حداقل 41 نفر وجود دارند که تعداد موهای سرشان یکی است (سر طاس مو ندارد). مثالهای زیادی نظیر این را می‌توانیم نقل کنیم.

ایده اساسی حاکم بر همه‌ی این موارد حقیقت ساده‌ای مشهور به اصل لانه‌کبوتر دیر بلکه است.

که عبارت است از:

فرض کنید ‌k و n دو عدد طبیعی‌اند. اگر بخواهیم بیشتر از nk+1 شی را در n جعبه قرار دهیم، حداقل یک جعبه وجود دارد که در آن حداقل k+1 شی قرار گرفته باشد. در حالت خاص، اگر حداقل n+1 شی را در n جعبه قرار دهیم، جعبه‌ای وجود دارد که در آن حداقل دو شی قرار گرفته باشد.

1. هفده نفر در جلسه‌ای حضور دارند. آنها درباره سه موضوع بحث می‌کنند، هر دو نفر آنها درباره یک و فقط یک موضوع بحث می‌کنند. ثابت کنید یک گروه حداقل سه نفری وجود دارد که افراد آن با هم راجع به یک موضوع بحث کرده باشند.

حل: می‌توانیم 17 نفر را 17 نقطه در نظر بگیریم که هر دوتایی به توسط یک بال به هم وصل شده‌اند. بالی را که X و Y را به هم متصل می‌کند، آبی می‌کنیم اگر آن دو درباره موضوع (1) بحث کرده باشند و قرمز می‌کنیم اگر راجع به موضوع (2) بحث کرده باشند و به رنگ زرد در می‌آوریم. اگر آن دو درباره موضوع (3) با هم به بحث پرداخته باشند. بنابراین هر کدام از 16 بالی که از A گذشته‌اند با یکی از سه‌رنگ آبی،‌ قرمز یا زرد رنگ شده است. از آن‌جایی که 1+3×5=16، طبق اصل لانه کبوتری حداقل 1+5 رأس یافت می‌شود، که با یک رنگ به A متصل شده باشند. بدون اینکه به کلیت مساله لطمه بخورد فرض می‌‌‌کنیم یال‌‌های AG,AF,AE,AD,AC,AB با رنگ آبی، رنگ‌آمیزی شده باشند. حال 6 رأس G,F,E,D,C,B را در نظر بگیرید که با 15 یال به هم متصل شده‌اند. اگر هر کدام از این یال‌ها (مثلاً BC) به رنگ آبی باشد. آن‌گاه این یال‌ها با رنگ‌های قرمز یا زرد خواهیم داشت. و این به این معنی است که حداقل سه نفر وجود دارند که با هم راجع به یک موضوع بحث کرده باشند.

1. فرض کنیم {n2 و ...و 3و2و1}=X و فرض نمائیم S زیر مجموعه‌ای (1+n) عنصری از x باشد. آن‌گاه حداقل دو عدد در S وجود دارند به طوری که یکی دیگری را می‌شمارد.

اثبات: هر عدد دلخواه r متعلق به S را می‌توان به صورتS .2t= r نمایش داد که در آن،T یک عدد صحیح نامنفی و S عدد فرد متعلق به X، به نام قسمت فرد (r) است. برای S حداکثر n انتخاب وجود دارد، زیرا n عدد فرد در X وجود دارد. این n قسمت فرد را می‌توان به عنوان n لانه کبوتر در نظر گرفت که قرار است (1+n) عدد متعلق به S را بین این لانه‌ها پخش کنیم. به عبارت دیگر، دو عدد مانند x و y در s وجود دارند که قسمت فرد آنها یکی است. فرض کنیم s.2t=x و.2u.s=y آن‌گاه یا x عدد y را می‌شمارد یا برعکس.

1. اکبر در طول تعطیل چهار‌هفته‌ای خود هر روز حداقل یک دور تنیس بازی می‌کند. ولی در طی این مدت جمعاً بیش از 40 دور بازی نخواهد کرد. ثابت کنید که توزیع دفعات دورهای بازی او در طی چهارهفته هر چه باشد، تعدادی از روزهای متوالی وجود دارد که طی آنها دقیقاً 15 دور بازی می‌کند؟

حل:

برای ، فرض کنید xi، تعداد کل دورهایی باشد که اکبر از آغاز تعطیلات تا پایان روز I بازی کرده است. پس:

  و 

اینک 28 عدد متمایز x1 و x2 و... و x28 عدد متمایز 15+x1 ،15+x2 ،....،15+x28 داریم.

این 56 عدد می‌توانند تنها 55 مقدار مختلف اختیار کنند، بنابراین حداقل دو تا از آنها باید مساوی بوده و نتیجه می‌گیریم که رابطه  باشرط 15+x=xi وجود دارد. لذا از شروع (1+j)ام تا آخر روز I اکبر دقیقاً‌ 15 دور بازی خواهد کرد.

1. کیسه‌ای حاوی دقیقاً 5 مهره قرمز،8 مهره آبی، 10 مهره سفید و 12 مهره سبز و 7 مهره زرد است. مطلوب است تعیین تعداد مهره‌هایی که باید انتخاب شوند تا مطمئن شویم که:

الف)‌ حداقل 4 مهره همرنگ‌اند

ب) حداقل 7 مهره همرنگ‌اند

پ) حداقل 6 مهره همرنگ‌اند

ت) حداقل 9 مهره همرنگ‌اند

حل:

 5 رنگ داخل کیسه وجود دارد. لذا 5 لانه کبوتر داریم:

           

قرمز

  

آبی

  

سفید

  

سبز

  

زرد

 

ج الف) 16

ب) 30=1+4×6+5

پ) 26=1+4×5+5

ت) 37=1+2×8+7+8+5

1. 10 عدد طبیعی متمایز و کوچکتر از 107 مفروضند. نشان دهید که دو زیرمجموعه مجزا و غیرخالی این 10 عدد یافت می‌شود S مجموع اعضایشان یکسان است.

حل:

بزرگترین 10 عددی که می‌توانیم داشته باشیم 97، 98،....106 هستند که مجموع آنها 1015 هست. بنابراین کافی است 1015 لانه کبوتر با شماره‌های 1 و2 و ...و 1015 را در نظر بگیریم. هر مجموعه 10 عضو شامل 1023=1-210 زیر‌مجموعه زیرتهی است، که 1023 را تعداد کبوترها در نظر می‌گیریم. لذا بنا به اصل لانه کبوتری، حداقل 2 زیرمجموعه با مجموع یکسان وجود دارند. اعداد متناظر را از 2 مجموعه حذف می‌کنیم.

1. فرض کنیم فرد باشد. ثابت کنید که عدد صحیح مثبتی مانند n وجود دارد به طوری که m عدد 1-2n را عادی می‌کند؟

حل: 1+m عد صحیح مثبت 1-21، 1-22، 1-23، ....، 1-2m، 1-2m+1 را در نظر می‌گیریم.

بنابراین اصل لانه کبوتر و الگوریتم تقسیم، اعدادی مانند  وجود دارند به طوری که   

9= تعداد روز چهارم + روز پنجم

لذا حداقل دنباله‌ای از دو روز متوالی چهارم و پنجم یافت شد که مجموع ساعاتی که دونده در آنها دویده 9 ساعت شود.

1. فرض کنید{a5 و .....a2 وa1}=A مجموعه‌ای از 5 عدد صحیح و مثبت باشد. نشان دهید که برای هر جایگشت مانند{ai5 و...وai1}=B از مجموعه A حاصل ضرب

(ai1-a1) (ai2-a2)…(ai5-a5)

عددی زوج است.

حل:

 ضرب n عدد زوج است، هرگاه حداقل یکی از اعداد زوج باشد، بنابراین یکی از (aij-aj) عدد زوج است. یعنی aj و aij یا هردو زوج‌اند و یا هردو فردند. طبق اصل لانه کبوتری، حداقل 3 عضو از مجموعه A دارای زوجیت یکسان هستند.

به عنوان مثال، a1 و a2 و a3 از مجموعه A را در نظر می‌گیریم که هر سه فردند یا زوج. لذا روشن است که Q{a13 و a12 و a11}  {a3 و a2 و a1} (زیرا مجموعه A بایست حداقل دارای 6 عضو {a13,a12,ali,a3,a2,a1} باشد). به عبارتی دیگر مجموعه {a1,a2,a3,a11,a12,a13}=c حداقل دو عضو برابر دارد. فرض کنید a11= a3. بنابراین a1-a3=a1-a11 در نتیجه a1-a11 عددی زوج است.

1. برای تمام اعداد طبیعی و p ثابت کنید R+R  (p,q) R .

اثبات:

 فرض کنیم . طبق قضیه رمزی (برای تمام اعداد طبیعی2 q و p، عدد R(p.q) با شرط ذکر شده، وجود دارد.) و برای اثبات قضیه کافی است که نشان دهیم که اگر دسته نقطه‌ی nتایی را با دو رنگ قرمز و آبی رنگ کنیم، آن‌گاه یک دسته‌ی نقطه‌ای pتایی با یک دسته نقطه‌ی qتایی قرمز وجود دارد. سه نقطه‌‌ی nتایی را با kn نشان می‌دهیم.

یک رأس ثابت V در Kn را در نظر بگیرید. از v، 1-n یال در kn عبور کرده است:

طبق تعمیم یافته اصل لانه کبوتری R(P-1,q) یال گذرنده از v وجود دارد که با آبی رنگ شده‌اند یا R(P,q-1) گذرنده v وجود دارند که با قرمز رنگ شده‌اند. فرض می‌کنیم حالت اول درست باشد. فرض کنید x مجموعه نقاطی باشد که این R(P,q-1) به v وصل شده‌اند. از آن‌جا که  طبق تعریف مجموعه‌ی x شامل یک دسته‌ی نقطه (p-1)تایی آبی باشد، آن‌گاه مجموعه {v} x یک دسته نقطه qتایی آبی است.

1. 6 مهره قرمز، 5 مهره سفید و 7 مهره آبی در یک کیسه داریم. مطلوب است تعیین کمترین تعداد مهره‌هایی که باید انتخاب شوند تا مطمئن شویم S حداقل 3 مهره قرمز یا حداقل 4 مهره سفید یا حداقل 5 مهره آبی انتخاب شده است؟

حل:

 اگر x و y و z به ترتیب تعداد مهره‌هایی به رنگ قرمز و سفید و آبی باشند که بناست انتخاب شوند، آن‌گاه اگر x=2 و y=3 و z=4، آن‌گاه جواب 9 است، بنابراین وضعیت مطلوب پیش نمی‌آید بدین‌سان باید حداقل 10 مهره انتخاب کنیم. (پاسخ 10 مهره)

که نتیجه می‌دهد:

پس می‌توان B را برابر {aj و ...ai-2 وaih} در نظر گرفت.

1. هر دنباله مرکب از (n2+1) عدد صحیح متمایز شامل زیر دنباله‌ای با حداقل (n+1) جمله است که یا دنباله‌‌‌ای افزایشی است یا دنباله‌ای کاهشی.

اثبات: فرض کنیم دنباله مورد بحث ai (I=1,2,…,n2+1) باشد فرض کنیم ti عبارت باشد از تعداد جمله‌های واقع در طولانی‌ترین زیر دنباله افزایشی که با ai شروع می‌شود. اگر به ازای iای داشته باشیم ti=n+1 آن‌گاه کار تمام است. فرض کنیم که به ازای هر I داشته باشیم . قرار می‌دهیم {j=ti:ai}= HJ که در آن n و ...2و1 = j . بدین‌سان n لانه کبوتر H1 و H2 و...Hn را داریم S بناست (n2+1) عدد ti را بین آنها پخش کنیم. از این رو بنابر اصل لانه‌ی کبوتر تعمیم یافته، لانه‌ای مانند Hr شامل بیش از kتا از این اعداد که در آن k مقدار گردشده نقصانی  است، وجود دارد.

بنابراین حداقل (n+1) تا از اعداد ti با هم برابرند. اینک این را ثابت می‌کنیم که (n+1) عدد واقع در دنباله مفروض که متناظر با این اعداد واقع در لانه Hrاند دنباله‌ای کاهشی تشکیل می‌دهند. فرض کنیم  در Hr باشند یا  یا  زیرا عناصر مورد بحث متمایزند. فرض کنیم . حال ، مستلزم این است که زیر دنباله‌ای به طول r وجود داشته باشد که با aj شروع شود. از این‌رو،  نتیجه می‌گیریم که زیر دنباله‌ای به طول (Rh) وجود دارد که با ai شروع می‌شود. این یک تناقص است زیرا با توجه به اینکه ai عنصری از Hr است نمی‌توان زیر دنباله‌ای به طول (r+1) داشت که با ai شروع شود. بدین‌سان وقتی  باید . از این رو، هر (n+1) عنصر دلخواه در Hr زیر دنباله‌ای اکیداً کاهشی بدست خواهد داد.

منابع

1. اصول و فنون ترکیبات مترجمین: حسین ربیعی

                                                       حسین غفاری

1. ریاضیات گسسته و ترکیباتی رالف.پ.گریمالدی

                                          ترجمه: دکتر محمد‌علی رضوانی

                                                   دکتر بیژن شمس

1. ریاضیات گسسته مقدماتی ترجمه: دکتر بیژن شمس

                                                    دکتر محمد‌علی رضوانی

                                          تألیف: و.ئ.بالاکریشنمان

1. ریاضیات گسسته و ترکیباتی از دیدگاه کاربردی (جلد اول) رالف گریمالدی

                                                                                  ترجمه: علی عمیدی

فهرست

چکیده

حل مسائل متنوع

منابع

مشخصات فروشنده

نام و نام خانوادگی : یعقوب ذاکری

شماره تماس : [phone]

ایمیل :[e-mail]

سایت :shopfile95.sellfile.ir

برای خرید و دانلود فایل و گزارش خرابی از لینک های روبرو اقدام کنید...

تحقیق در موردآشنایی به راه وروش کسب مجهولات

ک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*

فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)

تعداد صفحه:79

فهرست مطالب  ندارد

اهداف مطالعه روش تحقیق

1-آشنایی به راه وروش کسب مجهولات <- مسئله و مشکل معلوم و مشخص است به دنبال عوامل ایجاد کننده هستیم 2-آشنایی به راه وروش دستیابی به حقایق <- حقیقت برای ما ناشناخته است و به دنبال کشف وبا ایجاد آن هستیم                  

آشنایی با مسائل ومشکلات موجود در انجام تحقیق

آشنایی به راه وروش های علمی تحقیق ازطریق مطالعه نظری وکسب تجربیات عملی

کسب آمادگی لازم برای انجام یک تحقیق

علم چیست؟ عبارت است از تراکم سیستماتیک اطلاعات ودانستنیها قابل اثبات به عبارت دیگر روش کشف مجهولات از طریق معلومات یا توافق فکری و توافق نظری

اهداف علم

1-فرارفتن از حد توصیف 2-مدرج ساختن ابزار شناخت ورابطه های علی سنجش 3-پایداری پدیده ها      4-تعین رابطه تقدم        5-تعیین تکرارپذیری

1-

2-

3-آنچه از روابط پدیده ها بدست می آید حقیقی است یا خیر

4-علم بدنبال اثبات تقدم علت بر معلول است

5-آیا اگر به نتیجه یک بررسی علمی دست یافتیم در صورت تکرار برسی وآزمون نتایج یکسان بدست می آید

مختصات علم

1-از روش خاص پیروی می‌کند

2-ابطال پذیر است وبدلیل ابزار وفنون جدید وشرایط زمان ومکان جامعه آماری باعث یافته های جدید علمی می‌شود که علوم قبلی را ابطال می‌کند

3-دارای تکامل طولی و عرضی است پیشرفت های بدست آمده در یک زمینه علمی بدون منسوخ کردن ونفی علوم قبلی گسترش می یابند و از نظر عرفی رشد وتکامل می یابند.( مثال کشف عناصر موجود در طبیعت)

تکامل طولی علم باعث نفی یافته های قبلی میشود(مانند کشف گردش زمین به دور خورشید )

هدف علمشناخت حقیقت است

شیوه های شناخت

1-روش حجیت (تقلید محض) Authortarian mode

از طریق استناد ومراجعه به کسانی که دارای صلاحیت علمی واجتماعی لازم می باشند بدست می آید ومیزان صلاحیت وارجحیت وشهرت فرد تاثیر بسیاری دارد وا ندیشه چندانی نمی طلبد

روش پررمزوراز mysterical mode

از طریق تاکید بر نیروهای برتر و یا ماوراء طبیعه در حدود شناخت روابط بین پدیده ها بر می آیند

روش منطقی(فردگرایانه)Rationalistic mode

هر چیزی براساس عقل ومنطق قابل شناخت می‌باشد. در این روش روشهای قبلی مردود هستند وهر چه از طریق اندیشه و عقل بدست می آید قابل قبول می‌باشد(دکارت)

روش علمی scintific

در این روش از طریق حس وتجربه واقعیت مسائل روشن وقابل شناخت می‌شوند. و در بین تمام روشها بیشترین استفاده را در شناخت دارد هر چند ممکن است که از سایر روشهای شناخت به منظور مراحلی از روش تحقیق استفاده شوند ولی در نهایت بایستی از طریق روش علمی تایید شوند

روش –شیوه Metod

دستیابی به نتایج علمی میسر نیست مگر با روش شناسی صحیح

روش(دکارت) راهی است که برای دستیابی به حقیقت علوم باید پیمود وبه عبارتی مجموعه تدابیر وشیوه هایی است که برای شناخت حقیقت و برکناری از لغزش به کار برده میشود و به طور کلی به سه چیز اطلاق می‌شود

مجموعه طرق که انسان را به کشف مجهولات وحل مشکلات هدایت می‌کند

مجموعه قواعد که به هنگام بررسی وپژوهشی واقعیات باید به کار برده شود

مجموعه ابزار وفنون که راهبری از مجهولات به معلومات را میسر می‌کند

ویژگیهای روش

 1- انتظام پذیر بودن systematic   2-عقلایی بودن Rationalistic

3-روش علمی Emetion   4-واقعیت گرایی Reality  

 5-شک دستوریMetodcal doobt

1-انتظام پذیر بودن  روش ممکن است مجموعه ای از اقدامات مختلف باشد وبایستی تقدم وتاخیر آن رعایت شود ودر غیر این صورت نتیجه ای حاصل نمی شود.

2-عقلایی بودن  هر روش منظمی باید بر عقل وفرد منطبق باشد و بنابراین روشهای انتظام پذیر که ناشی از توهم وتخیلات واحساسات باشد پذیرفتنی نیست

روح علمی هر روش منظم وعقلایی باید دارای روح علمی نیز باشدکه مستلزم شرایطی چون بی طرفی خویشتن دارای صعه صدر وتواضع است.

واقعیت گرایی کشف قوانین درست تا نظریات مطقن باید از مسائلی چون درون کاوی-درون نگری یا شهودگرایی و هر آنچه را که موجب دوری از واقعیت می‌شود جدایی یابد

شک دستوری در این روش محقق به دنبال پی ریزی روشی است که بدور از تقلید صرف یا حافظه محض و یا تعقل واندیشه مبتنی بر شک دستوری مقدمه دانش مستقل را فراهم نماید.

قواعد و ویژگیهای تحقیق علمی

قاعده تجاهل یعنی خود را به جهل زدن و پاک نمودن ذهن از هر گونه پیش داوری وکنار گذاشتن کلیه محفوظات که باعث عدم بی طرفی می‌شود واحساسات وتعصبات را در امر تحقیق دخالت میدهد

عینیت گرایی هر آنچه را می بینیم ملاک عمل قرارداده و حتی الامکان در جمع آوری اطلاعات به روش علمی استفاده نماییم و از روش ذهنی تنها در تبیین استدلالها و تجزیه وتحلیل ونتیجه گیری مطالب استفاده کنیم

تحدید مصادیق ( محدود کردن) مشخص نمودن حدود یک مسئله جهت جلوگیری از دخالت عوامل خارجی باید موضوع مورد بررسی را به کوچکترین اجزا ممکن تجزیه نمود و

حدود هر مورد را مشخص نماییم این امر باعث می‌شود تا عوامل خارجی درامر تحقیق دخالتی نداشته باشند از طرفی امکان سنجش واندازه گیری آن فراهم شود.

به هم پیوستگی در قاعده به هم پیوستگی محقق باید در تجزیه وتحلیل وتصمیم گیری اصل کلیت را در نظر داشته باشد وبا توجه به ارتباط بین امور آنها راتجزیه وتحلیل کند و چنانچه جزئیات موضوعی به صورت منفرد ومجزا مورد مطالعه قرار گیرد باید در نهایت تاثیرات متقابل آن با دیگر اجزاء مورد بررسی قرارگیرد مانند بررسی ابعاد و اجزا ساختار سازمانی به صورت جزیی و بعد تجزیه وتحلیل آن با دیگر اجزا مورد بررسی قرار گیرد مانند بررسی ابعاد و اجزا ساختار سازمانی به صورت جزیی و بعد تجزیه وتحلیل آن در یک قالب کلی وپیوسته

افزایشی بودن نتایج حاصل از تحقیقات علمی باید اطلاعات جدیدی به دانش بشری اضافه کند وموجب گسترش مرزهای آن گردد بنابراین سازمان دهی و بیان مجدد دانسته های قبلی نمی تواند تحقیق علمی محسوب شود.

تجربی بودن وجود امکان آزمایش علمی و عینی فرضهای ذهنی در مقابل واقعیات است

نظم داشتن  در تحقیق علمی باید از روشهای سیستماتیک ومنظم بهره جست

تحقیق طلبی محقق باید در حوضه مورد تحقیق ومطالعه از آگاهی ودانش نسبی برخوردار باشد

تعمیم پذیری نتایج حاصل از تحقیق باید قابلیت عمومیت دادن آن به جامعه آماری را داشته باشد

جرات طلبی شهامت داشتن برای ارائه نتایج حاصله از تحقیق

صبر و شکیبایی به معنای استمرار تلاش وپرهیز از یاس وناامیدی وترس

تعریف روش علمی تحقیق عبارت است از فرایندی منظم وسیستماتیک جهت دستیابی به پاسخهای صحیح و سوالات مهم مرتبط با استفاده از ابزار علمی ومنظم جمع آوری طبقه بندی وتجزیه وتحلیل اطلاعات برای رسیدن به یک هدف معین

واژگان کلیدی

1مفهوم concept 2سازه construct  3فرضیه Hypothesis  4متغیرvatiable

 5نظریه theory 6قانون priciple  7استدلال Reasoning  8تعریف Definition  9روایی validity 10پایاییReliability 

 مفهوم concept

اگر من فرمانروای جهان بودم اولین کاری که می کردم تثبیت معنی ومفهوم واژه ها بود زیرا آن مقدمه هر عمل است

کنفسیوس

مفهوم یکی از مهمترین نمادها در زبان بویژه در رابطه با پژوهش علمی است علم برای تشریح دنیای تجربی با مفاهیم آغاز می‌شود وهر پژوهشگر به منظور درک روابط موجود بین داده ها و با پدیده ها ناگزیر به کار بردن آن است مفهوم رامیتوان انتزاع یا تجرید رویدادهای مشاهده پذیر دانست تشکیل مفهوم راهی کوتاه برای تعریف وتوصیف واقعیات است وامر تفکر را ساده می سازد و از طریق آن ویژگیهای مشترک چیزهای جزیی وخاص تامین می‌شود.

اندازه گیری مفاهیم  قابلیت اندازه گیری مفاهیم متفاوت است به عبارتی برخی از  مفاهیم را میتوان اندازه گیری نمود و برخی دیگر را نمیتوان اندازه گرفت هنگامی یک مفهوم واقعی یا ملموس نامیده میشود که براساس فعالیتهای حسی و یا حداقل کوشش ساخته می‌شود مانند خانه گریه انسان گفتگو مدیریت ورود در اینجا انسان وخانه قابل دیدن است وگریه و گفتگو قابل شنیدن و به طور کلی می‌توان چنین گفت چنانچه مفهومی قائم به یک شرایط زمانی مکانی باشد آنرا واقعی یا تجربی گویند اما مفایهمی هستند که از هر گونه شرایط زمانی ومکانی مستقل هستند و به توصیف موجودییت های غیرقابل مشاهده می پردازند این گونه مفاهیم را مجرد یا نظری گویند عاطفه –محبت-روح

کارکرد ونقش مفاهیم از جمله کارکردهای مفاهیم آن است که بنیاد ارتباط محسوب می‌شود بدون مجموعه ای از مفاهیم که روی آن توافق شده است ارتباط ین دانشمندان و پژوهشگران ناممکن است واز طریق آنهاست که اطلاعات وادراکات انتقال می یابد از طریق مفاهیم است که عمل طبقه بندی وتصمیم صورت می گیرد دانشمندان تجارب و مشاهدات خود را به صورت مفاهیم طبقه بندی نموده و آنها را سازمان داده ونظم ودر نتیجه تعمیم می دهند باید توجه داشت مفاهیم در حقیقت خود به عنوان پدیده ای تجربی وجود ندارد بلکه نمادی از یک پدیده هستند بطور نمونه این خطاست که بگوئیم مفهومی مانند قدرت به عنوان عاملی است که دارای کنش ها نیازها وغرایزاست در تحقیق علمی می‌توان از مفاهیم به عنوان مولفه های تئوری با نظری استفاده کرد وآنها را بدین ترتیب مورد بررسی و مطالعه قرارداد.

سازهConstract 

برخی  از مفاهیم رانمی توان به آسانی به پدیده های که این مفاهیم در برابر آنها ایجاد شده است ربط داد مثلا مفاهیمی چون طرز فکر- یادگیری انگیزه و.. معنی این مفاهیم را نمی توان به سهولت با نشان دادن چیزهایی خاص یا افراد و رویدادهای معینی به دیگران تفهیم کرد. این نوع پدیده ها که فراتر از رویدادهای محسوس وملموس می باشند نیازمند آنندکه تجزیه پذیری و قابلیت انتزاع پذیری آنها (ذهنی بودن) کاهش یابد و همه  بتوانند به طرق مشترکی نسبت به آن فهم پیدا کنند بدین منظور از ابزاردیگری که سازه نامیده می‌شود به عنان یک پل ارتباطی برای رسیدن از مفهوم به مشهودات استفاده می‌شود.

سازه خود یک مفهوم است اما دارای معانی اضافی است که بگونه ای ارادی وخودآگاه برای یک هدف خاص علمی ایجاد، کشف، اختراع وپذیرفته می‌شود.

تعریف Definiton

یکی از نمادهایی است که در زبان مورد استفاده قرار می گیرد بسیاری از ابهامات سوء  برداشتهاو ادرکات متفاوت از مفاهیم واحد به ویژه در زندگی روزمره و در گفتار محاوره ای ناشی از پیچیدگی ها وعدم وضوحی است که دراین مفاهیم وجوددارد./ بدین منظور لازم است بویژه برای مفاهیمی که دارای درجه ذهنیت پذیری بیشتری است از ابزاری به نام تعریف استفاده نماییم تا درجه ابهام پذیری شتراک نظر جلوگیری از سوء برداشت وادراک متفاوت را از آن طریق گرفت بسیاری از اختلافاتی که ما بعضا مشاهده می کنیم تنها با ارائه تعریف میتواند برطرف شود با توجه به اینکه ما در یک تحقیق علمی نیاز داریم از مفاهیم متعددی استفاده نماییم واین مفاهیم در بسیاری از موارد با رویکردهای متفاوتی مورد بررسی قرار گرفته اند وتعاریف متعددی از آن ها ارائه شده است ما نیازمندیم با توجه به هدف تحقیق تعریف متناسبی را از بین تعاریف ارائه شده انتخاب ومبنای مطالعه خود قرار داهیم.

تعریف یعنی قضیه ای که به توصیف وتشریح یک پدیده( مفهوم) می پردازد وآنرا قابل درک تر بیان می نماید.

تعریف باید به نکاتی توجه کنیم از جمله آنکه

مفاهیم واضح وروشن که هیچ ا بهامی در آن وجود ندارد نیاز به تعریف ندارد

مفاهیمی را که حتی دارای ابهام اندکی است نباید بدون تعریف رها کرد

در تعریف حتی الامکان نباید از واژه ها و اصطلاحاتی استفاده کرد که خود نیاز به تعریف داشته باشند

عملیاتی سازی ومفهوم سازی در راستای یک پژوهش محقق دارای یک وظیفه دو جانبه می‌باشد

1-در مطالعه وتحقیقاتی که فرضیه های آن مبتنی بر یکی از تئوریهای رایج است وظیفه محقق نزدیک کردن ذهنیات به عینیات است که بوسیله آنها به سنجش یک تئوری با فرضیه های منزلت بر آن می پردازد یعنی تئوری را قابل سنجش واندازه گیری می نماید

2-در تحقیقات اکتشافی  وظیفه محقق از طریق مشاهده واندازه گری جزئیات تغییر امور عینی به امور ذهنی (ساختن فرضیه وتئوری) ونزدیک کردن تجارب به تفکرات وتئوریهاست. هر یک از دو وظیفه فوق نام خاص خود را داراست حرکت محقق از بالا به پایین از اندیشه (تئوری فرضیه یا مفهوم) به مشاهده (مشهود ، متغیر) را اصطلاحاً عملیاتی کردن میگویند.

یعنی قابل مشاهده ساختن یک تئوری وپیش بینی طرق اندازه گیری آن است

عکس این موضوع را مفهوم سازی می گویند

مثال عملیاتی سازی: بین انتخاب استراتژیک ومیزان کارآفرینی سازمان رابطه ای دارد

متغیر variable

متغیر یعنی چیزی که تغییر می یابد و به خود مقادیر و ارزشهای مختلفی را می گیرد و در زمانها و مکانهای مختلف دارای ارزشهای متفاوتی است به طور کلی هر چیزی که تغییر یابد یک متغیر می نامند

انواع متغیر

1متغیر مستقل (Indipendent vari) 2متغیر وابسته (Dependent vari)

3متغیر تعدیل کننده (moderating vario) 4متغیرمداخله گر(Interening vari)

5متغیرکنترل (control vari)

متغیر مستقل متغیری است که هدف از بررسی آن میزان تاثیر پذیری آن توسط متغیر دیگری (وابسته) می‌باشد بررسی تاثیر اشتغال بر میزان بزهکاری جوانان

بررسی میزان سبک رهبری بر میزان تعهد کارکنان در سازمان

متغیر وابسته

متغیری است که هدف محقق بررسی وتحلیل آن و نیز پیدا کردن راه حل یا راه حلهایی برای آن می‌باشد به عبارتی متغیروابسته متغیری است که تحت تاثیر متغیر مستقل می‌باشد

متغیر تعدیل کننده  متغیری است که تاثیر متغیر مستقل بر وابسته مشروط بر آن است

متغیر مداخله گر(مزاحم): متغیر مداخله گر مزاحم متغیری است که بر نحوه اثرگذاری متغیر مستقل بر وابسته دخالت می‌کند وهدف محقق پیداکردن آن وخنثی سازی تاثیر آن میباشد.

متغیر کنترل بدلیل تاثیر همزمانی که متغیرهای مستقل بر روی یکدیگر دارند لذا هنگامی که می خواهیم تاثیر هر یک از آنها را بررسی متغیر وابسته ومحاسبه کنیم بهتر است میزان اثرات مثبت یا منفی متغیرهای مستقل بر روی یکدیگر را خنثی ساخته تا از این طریق میزان واقعی تاثیر هر یک از آنهابه روی متغیر وابسته مشخص ومعین گردد.

فرضیه Hvpothesis

بیان یک مسئله میتواند به صورت کلی پژوهش را هدایت کند اما تمام اطلاعات علمی پژوهشی را در بر ندارند از طرف دیگر چنانچه کلیه اطلاعات پژوهشی را در مسئله مطرح کنیم مسئله به گونه ای بزرگ می‌شود که هدایت آن امکان پذیر نیست و هر گز به صورت علمی حل نخواهد شد لذا نیاز به مفهومی در اینجا می‌باشد که بتواند ضمن تعیین حدود انجام کار ورسیدن به پاسخ و ارائه راه کار به مسئله مورد نظر امکان بررسی ومطالعه مشخص تر وهدفمندتر را برای محقق فراهم سازد. رابطه فرضیه با تحقیق مثل رابطه راه و مسافرت است هر چه راه هموارتر ومطمئن تر باشد مسافرت راحت تر و بی خطر تر انجام می‌شود لذا در تحقیقی که فاقد فرضیه باشد محقق سرگردان وبلاتکلیف است بنابراین میتوان گفت اثر مسئله وظیفه محقق را روشن می‌کند فرضیه چگونگی انجام آنرا بیان می‌کند مسئله مشخص می‌کند که محقق باید چه کاری انجام دهد وفرضیه مشخص می‌کند که چگونه باید انجام شود و به تعبیر یکی جای را نشان می دهد و یکی راه را

تعاریف فرضیه

1-پاسخ محقق به مسئله (سوال) حدس وگمان زیرگانه علمی برای نتیجه تحقیق

2-راه حل موقت برای یک مشکل

3-استناج منطقی که یک سلسله مفاهیم با توجه به تئوریهای رایج

منابع فرضیه

1-مطالعه درآداب ورسوم فرهنگ جامعه

2-مطالعه تئوریهای علمی

3-تجارب شخصی

اساس فرضیه

1-فرضیه های که براساس تجارب غیرعلمی قبلی ایجاد شده است

2-فرضیه های که جنبه ایده یی و یا خیالی دارد

3-فرضیه هایی که رابطه علت و معلولی و یا هم بستگی را نشان می دهد

نقش فرضیه در تحقیق

فرضیه ها برای پدیده ها تبیین آزمایشی فراهم می آورد وموجب افزایش معرفت علمی می‌شود

فرضیه نشانگر انتظار پژوهش گر درباره رابطه بین متغیرهای یک پدیده است

فرضیه مجموعه فعالیتهای اجرایی آموزش را تعیین می‌کند

فرضیه چارچوبی برای گزارش نتایج پژوهش فراهم می آورد

استدلالهاReasoning 

استدلال عبارت است از تمسک فکری به اطلاعاتی که اندیشه را برای کشف مجهول راهنمایی کند به عبارتی استدلال یعنی کشف مجهولی توسط یک یا چند معلوم

انواع استدلال

استدلال قیاسی Dedactive Reas

استدلال استقرایی Inductive Rea(از جزء به کل)

استدلال قیاسی:

نخستین روشی که در استدلال به ارسطو و یونانیها نسبت داده شده است روش قیاسی است این روش که به آن روش منطقی نیز گویند اولین روشی بود که بین فلاسفه مرسوم شد.

استدلال قیاسی یک رابطه منطقی بین کبری و صغری ونتیجه برقرار می نماید

کبری فرض مسلمی است که اساس یک سری عقاید و یاحقایق ماوراء‌طبیعه شناخته شده است ورابطه ای را نشان می دهد

صغری بیانگر رابطه کوچکتری است که حالت خاصی از کبری است ودرک رابطه بین این امر به یک نتیجه غیرقابل اجتناب می انجامد

مثال همه انسانها فانی هستند (کبری)

سقراط یک انسان است (صغری) <- سقراط فانی است (نتیجه غیرقابل اجتناب)

همه فلزات در حرارت منبسط می‌شود (کبری)

آهن یک فلز است (صغری) <- آهن در حرارت منبسط می‌شود(نتیجه)

استدلال قیاسی استنتاج یک فرضیه جزیی از یک حکم کلی

شروط استفاده از روش قیاسی

1-کبری وصغری باید درجای صحیح قرار گیرند

2-محقق کاربرد استدلال قیاسی را بداند

3-متمم صغری باید با توجه به موضوع کبری مشخص شود

4-موضوع صغری باید همیشه جزیی از موضوع کبری باشد

کاربرد استدلال قیاسی

برای تنظیم فرضیه میتواند مورد استفاده قرار گیرد وبه عبارتی همانطور که توضیح داده خواهد شد نتایج حاصل از این روش نمی تواند به عنوان یک نتیجه و راهکار نهایی پیشرفته شود.

مثال همه ایرانیها مهمان نواز هستند(ص)    همه ایرانیها مهمان نواز هستند(ص)

جانسون مهمان نواز است(غ)             جانسون ایرانی است(ص)

جانسون ایرانی است(غ)             جانسون مهمان نواز است(ص)

با توجه به مثال فوق بعضا در روش قیاسی اشتباه و خطا پیش می آید به منظور استفاده مطلوب از روش قیاسی باید

1-قانون یا اصل کلی (کبری) صحیح و درست باشد.

2-باید قانون واصل کلی به واحدهایی تعمیم داده شود که درچارچوب قانون یا اصل کلی بگنجد

قبول کبری ناقص یا نادرست که برعقاید کهنه جزئی وغیرقابل اعتماد مبتنی باشد ویا اینکه فرد شروط لازم در کاربرد این روش را رعایت نکرده باشد به نتایجی نادرست خواهد رسید از این رو فردی به نام فرانسیس بیکن برای جلوگیری از لغزش وخطاهای ناشی از روش قیاسی از کابرد مستقیم مشاهده پدیده ها طرفداری کرد در این روش پدیده ها در موارد جداگانه مورد مشاهده و بررسی قرار گرفته و از طریق آن به تعمیم واستنتاج می‌توان دست یافت این روش حرکت از جزء به کل را روش استقرایی می نامند

شروط لازم برای روش استقرایی

1-باید مشاهدات به طور صحیح تنظیم وثبت شوند واطلاعات درست از میان جامعه ای انتخاب شود که مورد نظر محقق است.

2-باید مشاهدات کافی برای پوشش همه جانبه باشد

3-باید مشاهدات بدرستی نمونه های مورد نظر را ارائه دهند

4-نتایج باید در ارتباط موضوع وعنوان تحقیق باشد واز کلی گویی پرهیز شود

5-روش تحقیق علمی بایستی یک روش قیاس استقرایی باشد

مراحل تحقیق علمی( جان دیونی Johe Dewey)

1-تعریف با بیان مسئله

2-بررسی مبانی و ادبیات تحقیق

3-ساختن فرضیه

4-جمع آوری داده ها و طبقه بندی آنها

5-تجزیه وتحلیل داده ها

6-نتیجه گیری وارائه پیشنهادات

تئوری (نظریه)Theory

تئوری عبارت است از مجموعه به هم پیوسته از مفاهیم تعاریف و یا موضوعاتی که پدیده ای رابه طور منظم ومرتب بیان می‌کند به عبارتی تئوری روابط علت ومعلولی بین وقایع را مشخص نموده و در حقیقت ترازنامه تحقیقاتی است که تاکنون انجام شده است

نقش تئوری در تحقیقات علمی

1-تئوری با معرفی اطلاعات مورد لزوم جهت هدف وچهارچوب تحقیق علمی را روشن می نماید

2-تئوری روابط بین پدیده ها را تعریف تشریح تبیین و پیش بینی می‌کند

3-تئوری نتایج حقایق و مشاهده را به صورت کلی قابل تجزیه وتعمیم بیان می‌کند

4-تئوری مطالب علمی واطلاعات قبلی را خلاصه وطبقه بندی می نماید

5-تئوری به توسعه وتکامل اطلاعات کشف شکافهای دانش بشری کمک می‌کند

قانون Priniciple

قانون به جمله ای اطلاق می‌شود که مبین یک رابطه حتمی دائمی بین دو یا چند متغیر است مانند انبساط فلزات در اثر حرارت. فرضیاتی که به طریق علمی ثابت شده باشند وامکان نقضی برای آنها وجود ناشته باشد آنها را قانون یا اصل کلی می نامند که در همه جا قابل اثبات می‌باشد

مشخصات قانون

1-شامل دو بیان متضاد نمی باشد

2-هر چند بار تکرار وآزمایش شود نتیجه یکسان است

3-دقیق روشن ومشخص است

4-براساس استدلال اصولی پایه گزاری شده است

5-در همه موارد قابل اثبات میباشد

روایی validity پایایی Reliability

روایی و پایایی خصائصی هستند که برای مفید وموثر واقع شدن مراحل مختلف انجام تحقیق وبویژه روش جمع آوری داده ها به عنوان شروط اساسی تحقیق به کار می رود

روایی آن خصیصه ابزار یا روش جمع آوری داده است که با داشتن آن همان مقولات را تعیین می‌کند که برای تعیین آن طرح ریزی شده است به عبارتی در خصوص ابزار جمع آوری داده ها روایی میزان آنچه را که مدعی اندازه گیری آن است اندازه می گیرد

برای تعیین روایی روشهای مختلفی وجود دارد که شامل

1-اظهار نظر گروهی( خبرگان )      2-مراجعه به موارد مشابه قبلی

3-ارزش منطقی              4-تکرار و آزمایش

پایایی کیفیت ثبات ابزار یا روش جمع آوری داده ها را در طول زمان نشان می دهد به عبارتی ثبات و پایداری آنچه که به وسیله یک ابزار یا روش تعیین می‌شود. اعتبار آن نیز نامیده می‌شود به طور کلی منظور از پایایی ثبات اندازه گیری در زمانهای مختلف است از این رو در آزمونها که ضریب پایایی بالا دارند خطای اندازه گیری به حداقل کاهش می یابد

یکی از روشهای ارائه بویژه در استفاده از پرسشنامه بکارگیری ضریب الفاکر نباج می‌باشد میزان ضریب مورد قبول جهت پایایی از طریق الفا کرد وبناخ  میباشد.

طرح تحقیق Research Proposal

عنوان تحقیق Research Tipic     بیان مسئله problem statemelt

ساختن فرضیه Hypothisisi buldng      هدف تحقیقResearch objectives

ضرورت تحقیقResearch Important   روش تحقیق Research metod

جامعه آماری Research poplation      ابزار جمع آوری داده هاResearch tools

زمان Time                  هزینه cost

طرح تحقیق

عبارت است از نقشه ،برنامه، خط مشی یا مجموعه ای از قواعد ومقررات که تحقیق بر طبق آن انجام می‌شود. هدف از تنظیم طرح تحقیق عبارت است از

الف) تهیه وتنظیم بهترین روش حل مشکل یا مطمئن ترین روش با صرف حداقل زمان و هزینه

ب)کنترل عوامل خارجی تعیین حدود تحقیق وکنترل آن مجموعه از عوامل خارجی به منظور جلوگیری از اثرات آنها در نتیجه تحقیق

عنوان تحقیق Research Topic

الف-باید به روشنی ودقت بیان کند تحقیق باشد

ب-باید دارای صراحت قاطعیت واختصار باشد

ج-خالی از هر گونه ابهام باشد

د-کلمات باید به طوری منظم در عنوان تحقیق بکار رود

هـ در موضوع نباید از اثبات یا عدم اثبات استفاده نمود ولذا باید از عبارت برای بیان عنوان استفاده نمود

بیان مسئله

هر پژوهش در واقع با قصد پاسخ گویی و راه حل یابی برای یک مسئله اصلی که در قالب یک پرسش ظهور کرده است آغاز می‌شود هر پژوهشی برای آنکه انسجام هدفمندی وکاربردی بودن خود را حفظ کند باید بر حول یک مسئله اصلی سازماندهی شود هر مسئله اصلی درواقع مرکزی است که در حوزه یک مسئله قرا رگرفته است

حوضه مسئله در برگیرنده مسائل پیرامونی و یا حاشیه ای است که برگرد مسئله اصلی قرارداد اصل با حاشیه ای بودن یک مسئله د رواقع به هدف تحقیق وابسته است لذا اصل یا حاشیه ای بودن یک مسئله امری نسبی است.

بطور مثال از میان مسائل متعددی که یک سازمان با آن روبرو است مانند ساختار سازمان روشها و رویه های انجام کار فرهنگ سازمان نیروی انسانی سیستم های انگیزشی ارزیابی عملکرد واز این قبیل مسئله اصلی می تواند به عنوان نمونه با توجه به هدف محقق ساختار سازمانی باشد لذا بقیه مسائل فوق عنوان مسائل حاشیه ای یا پیرامونی در نظر گرفته می‌شود که ممکن است از دیگر محققان دیگر از جایگاه واهمیت بالایی برخوردار باشد.

در بیان مسئله باید تلاش نمود با ارائه مقدمه ای ضمن طرح موضوع یکی به بحث تاریخچه یعنی مختصری از سیر تاریخی منشاء پیدایش موضوع تحقیق ونیز زمینه علمی که شامل اشاره به کتب مقالات وتحقیقات منتشره در این زمینه است پرداخت.

ویژگیهای طرح مسئله

1-مسئله تحقیق باید به صورت شفافترین و ویژه ترین سوالی مطرح شود که محقق قصد یافتن پاسخ آنرا دارد 2-طرح مسئله باید به روشنی مشخص باشد ومعین نماید که محقق به دنبال چه مجهولی است 3-مسئله باید آزمون پذیر و قابل سنجش باشد به عبارتی امکان سنجش داشته باشد 4-عدم تمرکز و پیش بینی کلی حداقل رابطه بین دو مفهوم یا متغیر را بیان نماید  5-عدم تاکید بر قضاوتهای اخلاقی ارزشی وفلسفی 6-حداقل رابطه بین دو مفهوم یا متغیر را بیان می‌کند

مثال ها: بیکاری بر افزایش جرم در جامعه تاثیر می گذارد عنوان خبری است   

پس غلط است

2-تغییرات در سبک مدیریتی چه تاثیری بر زندگی کارکنان دارد

سوال شفاف وواضح نیست کدام وجه زندگی

3-تا چه حد افزایش مشارکت کارکنان در تصمیم گیری مدیریتی به منظور افزایش عملکرد و نه بخاطر ارتقاء در چه کاری وافزایش رضایت شغلی به افزایش بهره وری و وجدان کاری تاثیر دارد باید از میان مطالب زائد خودداری نمود

4-چه تفاوتی بین کارایی مدیران بخش دولتی در مقایسه با مدیران بخش خصوصی وجود دارد گستردگی حوزه عملکرد از حدود توان یک محقق خارج است.

5-وضعیت آینده مدیریت سازمانی دولتی ایران چیست. تا چه زمانی وچند سال دیگر محدوده زمانی مشخص نیست

6-آیا نظام مالیاتی که در کشور اجرا می‌شود عادلانه است دراین گونه تحقیقات ممکن است نظرات شخصی تاثیر گذار باشد

7-آیا کارخانه داران کارگران را استثمار می‌کند قضاوتهای محقق تا میزان زیادی در نتیجه تاثیر گذار است

8-آیا به مدیریت مشارکتی نیازی هست مبنای خوبی پایه ای و نیاز وعدم نیاز به وضیت وموقعیت موضوع بستگی دارد

شیوه ساختن فرضیه

روش فرضی استقرایی شناختن مدل با مشاهده شروع می‌شود شاخص ماهیتی تجربی دارد بر مبنای شاخص میتوانیم فرضیه های تازه ای تدوین نماییم و برمبنای آن مدل را ساخت و با داده های واقعی آزمود

روش فرضی قیاسی

ساختن مدل بر مبنای یک اصل یا مفهوم کلی با استفاده از منطق خود براساس تغییر حاصل از پدیده های مورد بررسی انجام میشود

این مدل یا استدلال منطقی فرضیه ها مفاهیم وشاخص را می سازد که داده های مشاهده باید آنرا تایید کنند

فرضیه 1-استراتژی به عملکرد سازمان از طریق جو سازمانی تاثیر بیشتری می گذارد

ساختار سازمانی به عملکرد سازمانی از طریق جوسازمانی تاثیر بیشتری میگذارد

سوال تاثیر استراتژی به عملکرد سازمان چگونه است؟

تاثیر ساختار سازمانی برعملکرد سازمان چگونه است؟

انواع فرضیه

1)کمی Quantitative Hypothesis فرضیاتی که تمام متغیرهای آن کمی باشند

فرضیه های مبتنی بر شاخص

    2-کیفی Avalitaittive Hyp فرضیاتی که حداقل یک متغیر آن کیفی باشد

اهمیت تشخیص نوع فرضیه از لحاظ شاخص

به جهت نوع آزمون آماری است که برای هر یک باید استفاده نمود اگر فرضیه کمی باشد از آزمونهای پارامتر یک مانند ضریب همبستگی واگر فرضیه کیفی باشد از آزمونهای غیر پارامتریک استفاده می کنیم

فرضیه مبتنی به جهت تاثیر متغیرها

در این طبقه بندی فرضیه به توصیف رابطه بین متغیرها پرداخته وانتظارات پژوهشگر را درباره رابطه بین متغیرها نشان می دهد و به همین دلیل یک راه حل پیشنهادی است

فرضیات جهت دار Directional در این فرضیات به دنبال جهت تاثیر هستیم و وجود رابطه را پذیرفته ایم وقبول می نمائیم که یکی بر دیگری تاثیر می گذارد به عبارتی جهت ارتباط وتاثیر متغیر مستقل به متغیر وابسته مشخص است.

افزایش قد موجب افزایش وزن می‌شود

افزایش رضایتمندی از شغل موجب افزایش کارایی می‌شود

فرضیات بدون جهت Nandirectinal در این فرضیه جهت تاثیر متغیر اهمیتی ندارد به عبارتی وجود رابطه بین دو مفهوم مدنظر است

بین قد و وزن رابطه وجود دارد،  بین رضایت شغلی و افزایش کارایی رابطه وجود دارد

اهمیت  در فرضیات جهت دار از آزمون یک دامنه استفاده می کنیم مثلا در رابطه به افزایش قد و وزن باید افرادی را انتخاب کنیم که قدشان بالاتر از میانگین متوسط جامعه است.

در فرضیات بدون جهت از تمام نمونه در سراسر منحنی نرمال استفاده می کنیم یعنی همه آنها که بالاتر و پایین تر از حد متوسط است بررسی می‌شود لذا از ازمونهای دو دامنه استفاده می کنیم

           1 بنیادی Basia -fundenmental

    از نظر هدف             2کاربردی Applied Reaserch

انواع تحقیق               1-تجربی    2-علی

                    از نظر روش       3-همبستگی  4-توصیفی   5-تاریخی

تحقیقات بنیادی هدف از انجام این گونه تحقیقات توسعه مرزهای دانش بشری بوده ونتایج آن لزوما استفاده آنی و فوری ندارد لذا این گونه تحقیقات کمتر مورد توجه مراکز ونهادهای انتفاعی وتجاری می باشند و غالبا در مراکز آکادمیکی و دانشگاهی مورد تاکید وتوجه قرار می گیرند.

معمولا نتایج این نوع تحقیقات برای حل مسائلی که تحت عنوان تحقیقات کاربردی نامیده می‌شود و بکار می رود

تحقیقات کاربردی  این نوع تحقیقات به منظور ارائه پاسخی برای یک مسئله با مشکل بوجود آمده انجام می‌شود ومعمولا از نتایج تحقیقات بنیادی برای ارائه راه حل استفاده می نماید

                          پیمایشیsurvey

           کمی avantitiative Resrarch آزمایشیEnperimental

تحقیق از نظر هدف

                             کیفی avalitative Rea اقدام پژوهشی AotionRaa

                                                                   مورد کاوی cage study

قوم مردم نگاری Etnography

تئوری مفهوم سازی Grohded

بنیادی thoery

تحقیقات کمی

تحقیقاتی هستند که داده های آن اگر چه ممکن است ماهیت کیفی داشته باشد اما به صورت کمی مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد( مثل رضایت شغلی)

تحقیقات کیفی

ضمن کیفی بودن ماهیت داده هابه روش کیفی مورد تجزیه وتحلیل قرار می گیرند

تحقیقات کیفی به چهار دسته تقسیم می‌شوند.

تحقیقات اقدام پژوهشی

اقدام پژوهی یا پژوهش در عمل از طریق همکاری مبتنی بر اعتماد متقابل با توجه به نگرانی های عملی افراد در یک وضعیت مشکل زا انجام می پذیرد. پژوهشگران این تحقیق مدعی اند که نمی توان نظام های پیچیده را به اجزا کوچکتر تبدیل کرد و هر کدام را به طور جداگانه مورد بررسی قرار داد بلکه باید به مطالعه کلیت سازمانهای انسانی به درک عمیقی از آنها نائل آمد از این رو در این رویکرد میتوان با تغییر فرایندهای درون سازمانی و مشاهده اثرات آن فرایندهای اجتماعی را به نحو بهتری مورد مطالعه قرار داد لذا پیش فرضهای کلیدی اقدام پژوهشی عبارتند از

1-عدم تقسیم محیط اجتماعی به اجزا وعناصر مختلف

2-اقدام عملی به منظور درک بهتر از محیط اجتماعی در قالب ایجاد تغییرات و بررسی آثار آن اقدامات بنابراین در این نوع تحقیق پژوهشگر در پدیده مورد بررسی هم آن را مشاهده می‌کند وهم در تغییر آن مشارکت می‌کند

ویژگیهای اقدام پژوهی

حاکم بودن روح مشارکتی

یادگیری در عمل

قدرت ایجاد انگیزه برای کارکنان در سازمان مورد تحقیق

تسهیل در اجرای راه حل های بدست آمده با کاهش مقاومت کارکنان

انجام پژوهش در محیط واقعی و میدان عمل

تفکر تجمعی در کلیه مراحل تحقیق

مورد کاوی(موردپژوهشی یا مطالعه موردی) مورد پژوهی به طور گسترده ای در مطالعات سازمانی رشته های علوم اجتماعی نظیر انسان شناسی جامعه شناسی وروابط صنعتی استفاده می‌شود تحقیقات موردی شامل نوعی بررسی تفضیلی همراه با داده های اطلاعا

مشخصات فروشنده

نام و نام خانوادگی : یعقوب ذاکری

شماره تماس : [phone]

ایمیل :[e-mail]

سایت :shopfile95.sellfile.ir

برای خرید و دانلود فایل و گزارش خرابی از لینک های روبرو اقدام کنید...

تحقیق در مورد اشنایی با ماتریس

ک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*

فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)

تعداد صفحه:27

فهرست مطالب ندارد

آشنایی با ماتریسها

مقدمه: آشنایی با ماتریسها

مقدمه: در تاریع آمده است که اولین بار یک ریاضیدان انگلیسی تبار به نام کیلی ماتریس را در ریاضیات وارد کرد. با توجه به آنکه در آن زمان ریاضیدانان اغلب به دنبال مسائل کاربردی بودند، کسی توجهی به آن نکرد. اما بعدها ریاضیدانان دنباله ی کار را گرفتند تا به امروز رسید که بدون اغراق می توان گفت در هر علمی به گونه ای با ماتریس ها سروکار دارند. یکی از نقش های اصلی ماتریس ها آن است که آنها ابزار اساسی محاسبات عملی ریاضیات امروز هستند، درست همان نقشی که سابقاً اعداد بر عهده داشتند. از این نظر می توان گفت نقش امروز ماتریس ها همانند نقش دیروز اعداد است. البته، ماتریس ها به معنایی اعداد و بردارها را در بر دارند، بنابراین می توان آنها را تعمیمی از اعداد و بردارها در نظر گرفت. در ریاضیات کاربردی ماتریس ها از ابزار روز مره هستند، زیرا ماتریس ها با حل دستگاه معادلات خطی ارتباط تنگاتنگی دارند و برای حل ریاضی مسائل عملی، مناسبترین تکنیک، فرمول بندی مسئله و یا تقریب زدن جوابهای مسئله با دستگاه معادلات خطی است که در نتیجه ماتریس ها وارد کار می شوند. اما، مشکلی اصلی در ریاضیات کابردی این است که ماتریس های ایجاد شده، بسیار بزرگ هستند و مسئله اصلی در آنجا کار کردن با ماتریس های بزرگ است. از جنبه نظری، فیزیک امروزی که فیزیک کوانتوم است، بدون ماتریس ها نمی توانست به وجود آید. هایزنبرگ – اولین کسی که در فیزیک مفاهیم ماتریس ها را به کار برد- اعلام کرد «تنها ابزار ریاضی که من در مکانیک کوانتوم به آن احتیاج دارم ماتریس است.» بسیاری از جبرها مانند جبر اعداد مختلط و جبر بردارها را با ماتریس ها بسیار ساده می توان بیان کرد. بنابراین با مطالعه ماتریسها، در واقع یکی از مفیدترین و در عین حال جالبترین مباحث ریاضی مورد بررسی قرار می گیرد.

تعریف ماتریس: اگر بخواهیم مانند کیلی، ماتریس را تعریف کنیم، باید گفت هر جدول مستطیلی که دارای تعداد سطر و ستون است و در هر خانه آن یک عدد وجود دارد یک ماتریس است. به عبارت دیگر هر آرایشی از اعداد مانند مثالهای زیر را ماتریس می گویند.

اگر ماتـریس      را A بنامیـم، در این صورت ماتـریس ] 15و10 و 1-[ را سطـر اول و ] 19و7 و5[ را سطر دوم و ،     ،    را به ترتیب ستون اول، ستون دوم، ستون سوم A گویند. ماتریس A را که دارای دو سطر و ستون است یک ماتریس دو در سه (2و3) می گویند. اصطلاحاً می گوییم A از مرتبه 2 در 3 است. (نوشته می شود 3×2). بنابراین ماتریس ] 7و5 و12[ B= یک ماتریس 4×1 و ماتریس C یک ماتریس 3×3 است.

به اعداد یا اشیاء واقع در جدول ماتریس درایه های آن ماتریس می گویند. درایه های هر ماتریس در جا ومکان مشخصی قرار دارند. مثلاً در ماتریس درایه 3 در سطر اول و ستون اول است. همچنین درایه سطر دوم، ستون سوم عدد 6 است. به طور کلی اگر درایه های سطر I ام ستون jام را با aij نشان دهیم؛ داریم

… و 5=12a   2=22a    3=11a

به طور کلی یک ماتریس دلخواه 3×2 را بصورت زیر نمایش می دهیم:

اغلب برای سهولت، به جای نمایش ماتریس به صورت فوق، آن را با نماد 3*2[aij]نشان می دهند که در آن aij را درایه یا عنصر عمومی ماتریس 3*2[aij] گویند. به طور کلی برای ساختن انواعی از ماتریس های دیگر می توانیم به جای آن که درایه های ماتریس را از اعداد حقیقی انتخاب کنیم، درایه ها را از اعداد مختلط عناصر یک میدان، توابع و یاحتی ماتریس ها انتخاب کنیم.

در حالت کلی یک ماتریس m*n بصورت A=[aij]m*n عبارت است از:

ماتریس های مربع: اگر در یک ماتریس تعداد سطرها و ستون ها مساوی باشد، آن را ماتریس مربع گویند. در این حالت اگر یک ماتریس مانند A دارای مرتبه ی n*n باشد، گوییم A یک ماتریس مربع مرتبه n است. مجموعه ماتریس های مربع مرتبه ی n را با     یا   نشان می دهند.

درایه های 11a و 22a و… و anx یک ماتریس مربع مرتبه n باشد، مجموع درایه های قطر اصلی A را اثر ماتریس A می نامند و با نماد tr(A) نشان می دهند. بنابراین:

در واقع اثر ماتریس، تابعی از مجموعه ماتریسهای مربع در مجموعه اعداد حقیقی است، یعنی

مثال: اگر      درایه های قطر اصلی A عبارتند از 4- و 6- بنابراین

2=6+4-tr(A)

ماتریس سطری: ماتریس هایی را که فقط یک سطر دارند ماتریس سطری یا بردار سطری می نامند. مثلاً ماتریس ی ماتریس سطری *n1 است.

ماتریس ستونی: ماتریسی است که فقط دارای یک ستون باشد. هر ماتریس ستونی را بردار ستونی نیز می گویند. مثلاً ماتریس زیر یک ماتریس ستونی 1×m است.

ماتریس صفر: ماتریسی است که همه درایه هایش صفر باشد. بنابراین ماتریس   ماتریس صفر است. هرگاه:

ماتریس صفر از مرتبه m*n را با نماد Qm*n نشان می دهند.

مثال:

اگر مرتبه ماتریس صفر، داده شده باشد و یا از طریق متن، مرتبه آن معلوم باشد، در اینصورت برای سهولت ماتریس صفر را با و یا حتی با O نشان می دهند.

تساوی ماتریس ها: هرگاه در ریاضیات اشیا جدیدی معرفی شوند، باید مشخص شوند که چه وقت دوتای آنها با هم مساویند. مثلاً در مجموعه اعداد گویا دو عدد دو سوم و چهار ششم را، علیرغم اینکه یک شکل نیستند، مساوی می نامند. در مورد اعدادگ ویا، دو عدد       را مساوی می گویند. هر گاه ad=bc تساوی ماتریسها نیز به صورت زیر تعریف می شود.

تعریف: دو ماتریس و   مساویند هرگاه هم مرتبه باشند و درایه های نظیر در دو ماتریس (یعنی درایه های هم موضع) مساوی باشند. به عبارت دیگر، دو ماتریس    و   مساویند هر گاه داشته باشیم:

مثال:      و   تساوی A و B به این معناست که

جمع ماتریس ها: مجموع دو ماتریس   و   ماتریسی است که با نماد A+B نشان می دهیم و به صورت زیر تعریفق می شود.

توجه کنید که برای جمع دو ماتریس می بایست دو ماتریس هم مرتبه باشند. بنا به تعریف اگر A+B+C=[Cij] در اینصورت

برای این که تعریف فوق روشن تر شود، شکل گسترده آن را در حالت ماتریس های 2×2 در زیر می آوریم

تذکر: با توجه به تعریف، جمع دو ماتریس A+B وقتی تعریف شده که A و B هم مرتبه باشند. در این صورت A و B را ماتریس های قابل جمع می گویند.

تعبیر عمل جمع دو ماتریس به مثابه یک ماشین: عمل جمع را می توان به منزله ماشینی تصور کرد که دارای دو ورودی و یک خروجی است (مطابق شکل)، به طوری که اگر دوماتریس مثلا2×2 به آن بدهیم از خروجی آن یک ماتریس 2×2 بیرون می اید.

قرینه یک ماتریس: اگر A یک ماتریس m*n باشد، قرینه A ماتریسی است از همان مرتبه که با نماد –A نشان می دهند و اگر    در این صورت بنا به تعریف

مثال: قرینه ماتریس عبارت است از   و ملاحظه می شود که

خواص جمع ماتریس ها

الف) جمع ماتریسها خاصیت شرکت پذیری دراد

اثبات: فرض کنید   و   و   سه ماتریس هم مرتبه دلخواه باشند، نشان می دهیم

(A+B)+C=A+(B+C)

قبل از اثبات لازم است معنی عبارات (A+B)+C و A+(B+C) را بدانیم. در این مورد از تعبیر عمل جمع به مثابه عمل یک ماشین کمک می گیریم. از آنجا که ماشین جمع دو ورودی دارد نمی توان یکباره سه ماتریس را با هم جمع کرد، از این رو برای جمع سه   ماتریس A و B و C می توان ابتدا A و B را به ماشین داده و A+B را به دست آورد. سپس A+B و C را به ماشین می دهیم تا (A+B)+Cبه دست آید.

عبارت A+(B+C) به این معناست که نخست B و C را وارد ماشین کرده ایم و B+C را به دست آورده ایم و سپس (B+C)+A را بیرون می دهد.

حال می خواهیم نشان دهیم که در هر صورت ماتریس های بدست آمده مساویند برای این کار قرار می دهیم

درایه سطر I ام ماتریس =D+C درایه سطر I ام ستون j ام ماتریس (A+B)+C

ب) ماتریس صفر عضو بی اثر مجموعه ماتریس ها نسبت به عمل جمع است.

اثبات: فرض کنید   یک ماتریس دلخواه باشد، نشان می دهیم.

که در آن ماتریس صفر هم مرتبه با A است.

اثبات مشابه اثبات فوق است.

ج) هر ماتریس نسبت به عمل جمع دارای متقابل است.

دیدیم که قریبنه هر ماتریس A=[aij]، ماتریسی هم مرتبه با آن به صورت –A[-aij] است. در واقع –A متقابل A نسبت به عمل جمع است، زیرا قبلاً نشان دادیم

که در آن ماتریس صفر هم مرتبه با A است.

د) جمع ماتریس ها دارای خاصیت جابه جایی است.

یعنی اگر A و B دو ماتریس دلخواه هم مرتبه باشند، داریم    A+B=B+A

اثبات:

تعریف ماتریس ها: فرض کنید A و B دو ماتریس هم مرتبه باشند، A-B به صورت زیر تعریف می شود

A-B=A+(-B)

از تعریف فوق نتیجه می گیریم برای اینکه با ماشین جمع، A-B را به دست آوریم، نخست ماشینی با یک ورودی و یک خروجی می سازیم تا هر ماتریسی به آن دهیم آن ماتریس را قرینه کند. حال با دادن ماتریس B به این ماشین، -B از آن خارج می شود.

سپس، A و –B را به ماشین جمع می دهیم تا A+(-B) یعنی A-B را بیرون دهد.

مقایسه خواص جمع ماتریس ها با خواص جمع اعداد حقیقی:

اگر به خواص ماتریس ها توجه کنیم ملاحظه می کنیم که این خواص همانند خواص جمع اعداد حقیقی است، حال می خواهیم ببینیم کدامیکی از خواص دیگر مجموعه اعداد حقیقی با عمل جمع در مجموعة ماتریس ها با عمل جمع برقرار است. می دانیم برای حل معادله a+x=b در مجموعه اعداد حقیقی باید به طریقی a را از طرف اول معادله حذف کرد. بنابراین، طرفین معادله را با –a جمع می کنیم، در اینصورت:

(-a)+ (a+x)=-a+b

با استفاده از خاصیت جابجایی و شرکت پذیری جمع داریم:

(-a+a) +x=b-a)

در نتیجه +x=b-a0 یعنی x=b-a0 این شیوه را می توان برای حل معادله A+X=B در مجموعه ی ماتریس ها نیز به کار برد و گزاره زیر را به دست آورد.

گزاره: اگر A و B دو ماتریس هم مرتبه باشند، در این صورت معادله A+X=B دارای جواب منحصر به فرد X=A-B است.

یکی دیگر از خواص مجموعه اعداد حقیق با عمل جمع، قانون حذف است. یعنی اگر a+x=a+y در این صورت می توان نتیجه گرفت x=y این خاصیت نیز در مورد ماتریس ها با عمل جمع وجود دارد.

قانون حذف در جمع ماتریس ها برقرار است

اثبات: روش اول، فرض کنید A و B و C سه ماتریس هم مرتبه باشند، نشان می دهیم

A+B=A+Cà B=C

طرفین تساوی A+B=A+C را با –A جمع می کنیم با توجه با خاصیت شرکت پذیری و خاصیت ماتریس صفر نتیجه می شود B=C

روش دوم: چون A+B=A+C پس

درایه iام ستون jام =A+C درایه سطر iام ستون jام A+B

تذکر: برای اثبات قانون حرف دو روش مختلف ارائه دادیم. در روش اول، از خواص جمع ماتریسها یعنی شرکت پذیری، عضو بی اثر و… استفاده کردیم، یعنی همان روشی که برای اعداد حقیقی می توان به کار برد. اما در روش دوم ویژگی های ماتریس نقش اصلی را ایفا می کند. در واقع در مورد روش اول برای ما مهم نیست A و B و C ماتریس هستند یا عدد حقیقی و یا هر چیز دیگر، در مورد هر دسته ای از اشیا که دارای خواص جمع ماتریس ها باشند، می توانیم این شیوه را به کار ببریم و این همان رسالت جبر مدرن است که با اصل موضوعی کردن، قضایای مشابه را به یکباره ثابت می کند. زیرا شیوه و روش اثبات قضیه در هر جایی که این اصول صدق می کنند، معتبر است.

ضرب یک عدد (اسکالر) در ماتریس

تعریف: فرض کنید   ماتریسی از مرتبه m*n و r یک عدد حقیقی باشد. از ضرب عدد حقیقی r در A ماتریسی به دست می آید که آن را به صورت rA نمایش می دهیم و به صورت زیر تعریف می شود.

بنابراین (درایه سطر iام ستون jام ماتریس =r.(A درایه سطر iام ستون j ام ماتریس (rA)

مثال: اگر در این صورت

خواص ضرب عدد در ماتریس:

1)فرض کنید r و s دو عدد حقیقی و A یک ماتریس m*n باشد در این صورت داریم

r(sA)=(rs)A

2)اگر r و s دو عدد حقیقی و A یک ماتریس m*n باشد در این صورت داریم

(r+s)A=rA+sA

3)اگر r یک عدد حقیقی و A و B دو ماتریس m*nباشند در این صورت

r(A+B)=rA+rB

4)اگر r یک عدد حقیقی ناصفر و A وB دو ماتریس دلخواه m*n باشند در این صورت

rA=rBà A=B

ضرب ماتریس ها و خواص آن

ضرب ماتریس سطری در ماتریس ستونی

تعریف: ماتریس سطری    و ماتریس ستونی

را در نظر می گیریم حاصل ضرب A در B به صورت زیر تعریف می شود.

با توجه به تعریف فوق حاصل ضرب یک ماتریس سطری در ماتریس ستونی یک عدد حقیقی است که برای به دست آوردن آن به صورت زیر عمل می کنیم.

مثال:

ضرب ماتریس ها در حالت کلی:

تعریف: اگر     و   دو ماتریس مخصوص باشند در این صورت حاصل ضرب AB ماتریسی است m*p که اگر آن را با C نشان دهیم داریم

ملاحظاتی در مورد ضرب دو ماتریس

1-ضرب ماتریسی AB در صورتی تعریف شده است که تعداد ستون های ماتریس اولی، یعنی A با تعداد سطرهای ماتریس دومی، یعنی B، برابر باشد. در این صورت گویند ماتریس A در ماتریس B قابل ضرب است.

2-اگر AB=C برای به دست آوردن هر یک از درایه های ماتریس C به نمحلی که درایه واقع است توجه می کنیم. مثلاً برای بدست آوردن 12C سطر اول A را در ستون دوم B، طبق ضرب یک ماتریس سطری در ماتریس ستونی ضرب می کنیم، و به همین ترتیب

ستون پنجم ماتریس B× سطر سوم ماتریس A = 35C

اگر 1R و 2R و 3R به ترتیب نمایشگر سطر اول و سطر دوم و سوم ماتریس 2×3A و 1C و 2C و 3C نمایشگر ستون اول ، دوم و سوم ماتریس 3×2B باشند. در این صورت AB ماتریسی 2×2 به صورت زیر است.

که در آن، برای مثال، 2C1R حاصل ضرب سطر اول A در ستون دوم B را نشان می دهد.

ماتریس واحد (همانی)

ماتریس واحد، ماتریس مربعی است که تمام درایه های قطر اصلی آن 1 و سایر درایه های صفر است.برای مثال ماتریس واحد 2×2 که با نماد 2I نمایش می دهیم به عبارت است از

به همین ترتیب ماتریس واحد 3×3 عبارت است از

تذکر: ماتریس I را از اینرو، واحد گویند که رفتاری شبیه عدد 1 در ضرب اعداد دارد و چون روی هر ماتریسی (قابل ضرب با آن) اثر کند همان ماتریس را می دهد بنابراین آن را ماتریس همانی نیز می گویند.

گزاره: اگر در ماتریس A سطر دوم صفر باشد و B ماتریسی باشد که AB تعریف شده باشد، در این صورت سطر دوم AB نیز صفر است.

اثبات: قرار می دهیم AB=C درایه های سطر دوم AB از ضرب سطر دوم A در ستون های B به دست می آید. فرض کنید Cijدرایه دلخواهی از سطر دوم AB باشد، بنابراین

به طور کلی، اگر در ماتریس A سطر iام صفر باشد در این صورت سطر I ام ماتریس AB صفر است. به طریق مشابه می توان ثابت کرد.

گزاره: اگر در ماتریس B ستون jام صفر باشد و A ماتریسی باشد که AB تعریف شده باشد، در این صورت ستون jام ماتریس AB صفر است.

بررسی خاصیت جابه جایی در ضرب ماتریسها:

دو ماتریس A و B مفروضند. AB وقتی تعریف شده است که تعداد ستونهای A با تعداد سطرهای B مساوی باشد. مثلاً داشته باشیم و   اگر m و p مساوی نباشد، BA تعریف نشده است. برای اینکه BA تعریف شده باشد لازم است که p=m، یعنی B ماتریس n*m باشد. در اینصورت AB از مرتبه m*m و BA ماتریسی است از مرتبه n*m. حال اگر بخواهیم AB و BA هر دو موجود و هم مرتبه باشند می بایست A و B هر دو ماتریس های مربع و هم مرتبه باشند. اما در این حالت نیز ممکن است BA و AB مساوی نباشد. به مثال زیر توجه کنید.

مثال: اگر         در اینصورت

ملاحظه می شود که AB و BA مساوی نیستند. مثال فوق بیانگر آن است که ضرب ماتریس ها دارای خاصیت جابه جایی نیست. حال به مثال زیر توجه کنید.

مثال: اگر      در این صورت

یعنی AB=BA

ماتریس های تعویض پذیر:

تعریف: اگر A و B دو ماتریس مربع باشند به طوری که AB=BA در این صورت A و B را تعویض پذیر گوییم و یا گوییم A و B با یکدیگر جابجا می شوند.

مثال: دو ماتریس   و   تعویض پذیرند. زیرا

یک خاصیت غیر منتظره در ماتریسها:

می دانیم که مجموعه اعداد حقیقی دارای این خاصیت است که : «حاصلضرب دو عدد حقیقی ناصفر، عددی حقیقی ناصفر است.»

اما در مورد ماتریسها چنین نیست. به مثال زیر توجه کنید. دو ماتریس غیر صفر را در نظر بگیرید. داریم:

ملاحظه می شود که ماتریس هایی مانند A و B وجود دارند به طوری که و   ولی این نوع ماتریس ها را مقسوم علیه صفر می گویند.

تعریف: فرض کنید A یک ماتریس مربع باشد. اگر ماتریس ناصفری مانند B بتوان یافت به طوری    یا در این صورت A را مقسوم علیه صفر گویند.

مثال: ماتریس   مقسوم علیه صفر است زیرا

توانهای طبیعی یک ماتریس مربع:

فرض کنید A یک ماتریس m*n باشد. برای آنکه AA وجود داشته باشد می بایست m=n ، یعنی در صورتی AA تعریف شده است که A ماتریسی مربع باشد. در این صورت AA را با 2A نمایش می دهند.

تعریف: اگر A یک ماتریس مربع باشد، در این صورت توان های طبیعی A به صورت زیر تعریف می شوند

=A1A و =AA2A و 2=AA3A وبا استقرا

An+1 = AAn

در صورتی که A یک ماتریس مربع مرتبه n باشد توان صفر A نیز به صورت زیر تعریف می وشد.

که در آن In ماتریس واحد مرتبه n است.

ماتریس های بالا مثلثی

ماتریس مربعی   را بال مثلثی می نامند هرگاه

Aij     I>j     à aij=0

یعنی، در یک ماتریس بالا مثلثی کلیه درایه های واقع در پایین قطر اصلی صفرند. برای مثال یک ماتریس بالا مثلثی 3×3 در حالت کلی به صورت زیر است

این ماتریس ها را به صورت زیر نشان می دهند

همانطور که از نامگذاری این نوع ماتریس ها معلوم است، در هر ماتریس بالا مثلثی، درایه های واقع بر قطر اصلی و بالای قطر اولی مشخص کننده ماتریس هستند. زیرا تمام درایه های پایین قطر اصلی صفرند.

مثال: ماتریس مربع و صفر ماتریس واحد، بالا مثلث اند.

ماتریس های پایین مثلثی

ماتریس مربع A=[aij] را پایین مثلثی نامند هرگاه

یعنی،  در یک ماتریس پایین مثلثی، همه درایه های واقع در بالای قطر اصلی، صفرند.

مثال: ماتریس روبه رو یک ماتریس

پایین مثلثی 3×3 است. گاهی برای سهولت این ماتریس را به صورت زیر هم نشان می دهند.

نماد O در بالای قطر اصلی به معنای آن است که تمام درایه های بالای قطر اصلی صفرند. نامگذاری این نوع ماتریس ها همانند قبل، بر این اساس استوار است که در ماتریس های پایین مثلثی درایه های واقع بر قطر اصلی ، مشخص کننده ماتریس هتسند.

مثال: ماتریس مربع صفر و ماتریس واحد پایین مثلثی نیز هستند.

ماتریس های قطری:

ماتریع مربع D=[dij] را قطری می نامند، هر گاه هم بالا مثلثی و هم پایین مثلثی باشد، یعنی در یک ماتریس قطری، درایه های پایین و بالای قطر اصلی همگی صفرند، به عبارت دیگر، D قری است هرگاه

بنابراین، ماتریس قطری D به صورت زیر نوشته می شود.

برای سهولت این ماتریس را به صورت زیر هم نشان می دهند.

همانطور که از نام این نوع ماتریس ها بر می آید، در یک ماتریس قطری فقط درایه های واقع بر قطر اصلی مشخص کننده ماتریس اند، برای همین ماتریس قطری را به صورت

diaj(d11 , d12 , dnn)

نیز نشان می دهند.

مثال: ماتریس   قطری است که به صورت(2- و 3 و2) D=diag  نیز می توانیم آن را بنویسیم.

ماتریس واحد (همانی)

ماتریس واحد، ماتریس اسکالری (آن دسته از ماتریس های قطری را که همه درایه های واقع بر قطر اصلی آنها مساویند، ماتریس اسکالر نامند) است که درایه های واقع بر قطر اصلی آن همگی مساوی 1 است. ماتریس واحد مرتبه n را با In نشان می دهند.

مثال: ماتریس واحد 3×3 عبارت است از

وقتی مرتبه ماتریس واحد معلوم باشد و یا اهمیت نداشته باشد، ماتریس واحد را با I نشان می دهند و برای هر ماتریس مرتبه n مانند A داریم     InA=AIn=A

یعنی، ماتریس واحد، عضو بی اثر مجموعه ماتریس های مربع نسبت به عمل ضرب است. برای همینن ماتریس واحد رفتاری شبیه عدد یک در ضرب اعداد دارد.

و به سادگی دیده می شود که برای هر عدد طبیعی K داریم:       IK=I

مثال: هر ماتریس اسکالر مضربی از ماتریس واحد است. یعنی؛

ماتریس های خود توان

ماتریس مربع A را خودتوان می نامند هرگاه =A2A

 مثال: ماتریس  خودتوان است زیرا؛

گزاره: اگر A خودتوان باشد، در این صورت برای هر عدد طبیعی n، داریم:

An=A

ماتریس های پوچ توان:

ماتریس مربع A را پوچ توان نامند هرگاه به ازای یک عدد طبیعی، مانند n، داشته باشیم

بدیهی است که اگر  به ازای هر عدد طبیعی بزرگتر از n مانند m داریم

کوچکترین این n ها را اندیس پوچ توانی A گویند.

زیرماتریس ها وافراز کردن

یک زیر ماتریس یک ماتریس مفروض A ماتریسی است که از حذف تعدادی از سطرها یا ستون های ماتریس A بدست آمده باشد، برای مثال اگر

در این صورت هر یک از ماتریسهای زیر یک زیر ماتریس A می باشند.

زیر ماتریس     از حذف سطرهای اول و دوم و ستونهای اول و سوم، و زیر ماتریس ]4   3  2 [ از حذف سطرهای دوم و سوم و چهارم و ستون اول به دست می آیند.

هرگاه با ترسیم خطوط افقی و عمودی بین سطرها و ستونهای یک ماتریس آن را تقسیم بندی کنیم، گوییم ماتریس را افراز کرده ایم. با تغییر این خطوط افرازهای متفاوتی از یک ماتریس ساخته می شود. مثلاً

دو افراز مختلف از ماتریس A می باشند.

وقتی ماتریس ها از ظرفیت حافظه کامپیوتر بزرگترند، از ماتریس های افراز شده استفاده فراوان می کنند. مثلاً در ضرب دو ماتریس افراز شده، می توان ماتریس ها را روی دیسک نگه داشت. و فقط زیر ماتریس هایی را که در تشکیل حاصل ضربهای زیر ماتریسی لازمند در حافظه آورد. معلوم است که افراز باید به قسمی صورت گیرد که حاصل ضرب ماتریسهای نظیر قابل تعریف باشد.

فرض کنید A و B ماتریسیهایی باشند که AB تعریف شده باشد حال اگر A و B را به صورت

افزار کرده باشیم در این صورت به آسانی ثابت می شودکه برای محاسبه ماتریس AB می توان C و D و… را شبیه درایه ها تصور کرد و عمل ضرب را انجام داد، بنابراین

&nb

مشخصات فروشنده

نام و نام خانوادگی : یعقوب ذاکری

شماره تماس : [phone]

ایمیل :[e-mail]

سایت :shopfile95.sellfile.ir

برای خرید و دانلود فایل و گزارش خرابی از لینک های روبرو اقدام کنید...